矩阵的秩和特征值之间有什么关系吗？

Question

如题所述

Answer 1

1.矩阵的秩

秩最直观的就是化简为行最简形或等价标准形来直接看出来，而这两种形状最常见的用途就是用来解矩阵对应的线性方程组的解，所以遇到秩可以往对应的 Ax = 0 齐次方程组上靠。

矩阵的秩还反映了矩阵中线性无关的向量数量 矩阵行、列空间的维数等于秩，即 dim(R(A)) = dim(C(A)) = rankA 秩与特征值之间完全没有关系，但是和特征值的数量有一点关系：矩阵的秩 ≥ 其非零特征值个数

相等情况：矩阵可以相似对角化，易得相似变换不改变秩 所以对角矩阵的秩 = 其对角线非零元素个数 = 矩阵非零特征值个数

一般情况：矩阵相似于 Jordan 标准形，零特征值对应的 Jordan 块可能不是零矩阵 所以就占用了秩，导致非零特征值减少

秩等于非零奇异值的数量 ⇒ 由于 rankA = rank(A^H * A)，因为 A^H * A 是正规矩阵，所以能够相似对角化 ⇒ 所以 rank(A^H * A) = 非零特征值个数 = 非零奇异值个数 = rankA 矩阵的运算对于秩的影响总结：

2 矩阵的特征值

Ax=λx⇒(A−λI)x=0⇒|A−λI|=0。
矩阵的特征值问题是对于方阵而言的。特征值可以为0，特征向量不能为0。

Answer 2

矩阵的秩和特征值之间存在一些重要的关系。首先，矩阵的秩可以反映矩阵的线性无关特征向量的数量。具体来说，如果一个矩阵的秩为r，那么这个矩阵最多有r个线性无关的特征向量。
其次，矩阵的秩也可以通过特征值来计算。如果一个矩阵A的特征值为λ1，λ2，...，λn，那么A的秩r等于这些特征值中非零特征值的个数。换句话说，A的秩等于矩阵A的非零特征值的个数。
此外，矩阵的秩还可以通过矩阵的零特征值的个数来计算。如果一个矩阵A的零特征值的个数为t，那么A的秩r等于n-t，其中n是矩阵的阶数。这个关系可以用公式r(A)=n-t来表示。