已知函数f(x)=(1/4)x^4+x^3-(9/2)x^2+cx有三个极值点,若存在c,使函数f(x)在区间(a,a+2)上单调递减,求a的取值范围
f'(x)=x³+3x²-9x+c
f''(x)=3x²+6x-9=3(x²+2x-3)=3(x+3)(x-1)
故一阶导函数f'(x)在(--∞,-3),(1,+∞)为增,(-3,1)为减
根据题意f(x)有三个极值点可知f'(x)有三个变号零点,即只需要f‘(-3)>0且f'(1)<0
存在c∈(-27,5),使得f'(x)=x³+3x²-9x+c≤0在(a,a+2)恒成立
令g(x)=x³+3x²-9x
即存在-c∈(-5,27),使得g(x)≤-c在x∈(a,a+2)恒成立 ...(*)
画出g(x)的大致图像,常函数h(x)=-c(值域为(-5,27))
将(*)式转换成图像的语言:即在间距为2的区间上找到g(x)的图像比【从y=-5到y=-27的直线簇的一条直线】低
由x³+3x²-9x=27解得x=-3或x=3,即y=27与g(x)的在第一象限的横坐标
由题意可知该区间要么在x=-3左边,或者在区间(-3,3)
∴只需要a+2<-3 或 -3<a且a+2<3
∴a<-5 或-3<a<1
追问“由题意可知该区间要么在x=-3左边,或者在区间(-3,3)
∴只需要
命题P:“该区间要么在x=-3左边,或者在区间(-3,3)”
命题Q:“a的取值范围是(负无穷,-5)U(-3,1)”
P是Q的必要条件,不充分
(-∞,-3)U(-3,3)
你再仔细看看。能到-3那的。
(-∞,-3)U(-3,3)错了,你还是好好研究吧,应该是a+2<-3 a<-5
追答我是说区间会落在这里的,我刚开始就这么算了呀,你自己看看吧,我最开始回答的就是a<-5.
我给你的区间(-∞,-3),(-3,3)指点是符合的区间(a,a+2)会分别落在那两种区间里的。
命题P:“区间(a,a+2)会分别落在两个区间(-∞,-3),(-3,3)里”
命题Q:“a的取值范围是(-∞,-5)U(-3,1)”
P是Q的必要条件,不充分。你不认为吗????
参考资料:希望有些人说话不要太傲,坚决抵制“贬我团队”者!
“易知,在区间(-27,5)中, 若c1<c2, 则Fc1包含Fc2”
没根据
由f'(x) 的单调区间的划分可知, 当在(-27, 5)内 c↓时, x1↑, x2↓, x3↑. 证明如下:
f'(x)在(-∞,-3)单増, (-3, 1)单减, (1, +∞)单增
x1∈(-∞,-3)单增区间, x2∈(-3,1)单减区间, x3∈(1, +∞)单增区间
当c↓, 曲线f'(x)下移, 相对而言, 坐标轴上移,即零点沿f'(x)曲线上移, 那么位于增区间的零点就右移,位于减区间的零点就左移, 即 x1↑, x2↓, x3↑.
本来我想看看有没有更好的初等方法,你非要用连续和极限来解题,总的来说没什么大问题,只是这道题是高中的题,这个方法不适合高中生,但还是采纳你的吧。
参考资料:7#的bd_yh的图
本回答被提问者采纳“当c=1的时候f'(x)=x^3+3x^2-9x+c只有在x轴左边才会满足f'(x)=x^3+3x^2-9x+c=0的条件,”
c=1 f'(x)=x^3+3x^2-9x+1 f'(0)=1>0 f'(1)=-4<0
在(0,1)上就存在f'(x)的零点
“这就是答案的完整思路,不过你还是要自己分析,只有自己把思路缕通你才能真正理解,还有什么问题的话可以继续追问
另外学懂了之后,也要记得给我回馈哦,以后有什么问题还可以继续问,”
不懂装懂,好为人师
你做题认真点,你没发现你接f‘(1)的时候解错了吗?1是这个范围内唯一的0点,显然不满足条件的,仔细分析一下,还有大胆质疑是好的,不过不要轻易去泯灭一个人的人格。
追问你会算,你算算,f'(1)=?????
追答好吧,我丢人了,那儿写错了,我写的应该是c=5,因为c的范围是(-27,5)不是c=1,太丢人啦,不过我还真不是老师,我也是学生,我再给你检查一下别的地儿有没有错误,思路绝对是对的,这个你放心好啦
你这只是c=2的情况呀,题中没给条件c=2呀,c取别的数(-27到5之间的数),a的取值范围也就变了吧。
追答我还是想和你探讨以下该题,你的题目说“若存在c,使函数f(x)在区间(a,a+2)上单调递减,求a的取值范围”。我当然知道c取值不同,a的范围会发生变化了,因为c的不同,f'(x)=0的三个根也不同,没有规律可循。即三个极值点就不同。从而单调区间也就不同,得到a的范围当然随之变化了。我们把存在的c找到 一个,就可以举一反三。
追问“我们把存在的c找到 一个,就可以举一反三”
做数学题,你还是别举一反三吧
你只说c=2,它代表不了c=3。
而c=3也是存在符合条件的c
由上-270
因此,若存在实数c使在区间[a,a+2]上f'(x)<0
有:a<-5,或-3<a<1
看不懂,你懂吗???
不是特别清楚, -3<a<1这个分支是对的。
另一个分支从Geogebra几何作图软件看是最左边的递减部分,
极小值点是-9.65, a=-11.65才能对上 [a.a+2]递减。