导数的概念

Question

如题所述

Answer 1

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
怎么想起问这个。大学才学的吧

定义
　　
设函数f(x)包含x0的某个区间上有定义，如果比值[f(x0+d)-f(x0)]/d 　　在d趋于0时（d≠0）趋于确定的极限值，则称此极限值为函数f在x=x0处 　　的导数（derivative）或微商，记作f'(x0）。 　　与物理，几何，代数关系密切 　　在几何中可求切线 　　在代数中可求瞬时变化率 　　在物理中可求速度，加速度 　　亦名纪数、微商（微分中的概念），由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念。又称变化率。 　　如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时. 　　但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。 　　为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔， 　　设汽车所在位置s与时间t的关系为 　　s=f（t） 　　那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是 　　[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 　　当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 . 　　自然就把极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。 　　这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 （限“速” 指瞬时速度） 　　一般地，假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0－a ，x0 +a)内有定义; 　　当自变量的增量Δx=x－x0，Δx→0时函数增量Δy=f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的（或变化率). 　　“点动成线” 　　 导数的几何意义
若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数。 　　函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0[x0，f（x0）] 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。 　　一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则：设y=f(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a，b）内，f'（x）<0，则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，y=f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值（需要检验极值与任意解的大小）。

Answer 2

说白了就是连续函数在某点切线的斜率（y/x）。