求解高数微分方程(一阶)

Question

如题所述

Answer 1

（7）y'=2xy/(x^2+y^2)=2(y/x)/[1+(y/x)^2]
令u=y/x，则y=xu，y'=u+xu'
u+xu'=2u/(1+u^2)
xu'=(u-u^3)/(1+u^2)
(1+u^2)/(u-u^3)du=dx/x
∫[1/u+1/(1-u)-1/(1+u)]du=∫dx/x
ln|u|-ln|1-u|-ln|1+u|=ln|x|+C

u/(1-u^2)=Cx
(y/x)/[1-(y/x)^2]=Cx
y/(x^2-y^2)=C，其中C是任意常数
（8）根据一阶线性微分方程的通解公式
y=e^[∫2/(x+1)dx]*{∫(x+1)^(5/2)*e^[∫-2/(x+1)dx]dx+C}

=(x+1)^2*[∫√(x+1)dx+C]
=(x+1)^2*[(2/3)*(x+1)^(3/2)+C]
=(2/3)*(x+1)^(7/2)+C(x+1)^2，其中C是任意常数
（9）y'-2y/x=2x^3
根据一阶线性微分方程的通解公式
y=e^(∫2/xdx)*[∫2x^3*e^(∫-2/xdx)dx+C]
=x^2*(∫2xdx+C)
=x^2*(x^2+C)
=x^4+Cx^2，其中C是任意常数
（10）lnydx+xdy/y-lnydy/y=0
lnydx+xd(lny)-lnyd(lny)=0
d(xlny)-d[(1/2)*(lny)^2]=0
xlny-(1/2)*(lny)^2=C
2xlny-(lny)^2=C，其中C是任意常数

Answer 2

Answer 3

7.除以y²,

Answer 4

（7）y'=2xy/(x²+y²）=2（y/x）（1+（y/x）²）
设y/x=k，y=kx，y'=k'x+k,k=y/x,k'=(y'x-y)/x²=(yy'/k-y)/（y²/k²）
=(y'-k)/（y/k）=k（y'-k)/y
y'=2k/(1+k²）
k'=k（2k/(1+k²）-k)/kx
k'=k（2/(1+k²）-1)/x
k'x=2k/（1+k²）-k
k'/[2k/（1+k²）-k]=1/x
（1+k²）k‘/（2k-k-k³）=1/x
（1+k²）k'/（k-k³）=1/x
设（1+k²）/k（1+k）（1-k）=A/k+B/（1+k）+C/（1-k）
=[A（1-k²）+B（k-k²）+C（k+k²）]/（k-k³）
=(A+(B+C)k+(C-B)k²）/（k-k³）
A=1，B+C=0，C-B=1，C=1/2，B=-1/2
[1/k-1/2(1+k)-1/2(k-1)]k'=1/x
两边积分：
lnk-（1/2）ln（1+k）-（1/2）ln（k-1）=lnCx
ln[k/√[（1+k）（k-1）]=lnCx
k/√（k²-1）=Cx
k²/（k²-1）=C²x²
k²/（-1）=C²x²/（1-C²x²）
k²=C²x²/（C²x²-1）
y/x=Cx/√（C²x²-1）
y=Cx²/√（C²x²-1）