复变函数题，判断奇点

Question

z=1是(z-1)sin(1/(z-1))的可取奇点还是本性奇点？
求极限看，是一个无穷小乘以有界量，极限应该是0；用泰勒展开却是有无穷多个负幂次项。

Answer 1

z=1是(z-1)sin[1/(z-1)]的本性奇点，

这个可以展开成洛朗级数看到有无数个z-1的负幂项推出来。

至于极限，你是把实变函数中的方法移植到复变函数，这是不行的，

复变函数中，sin[1/(z-1)]不是有界函数

追问

有没有具体的过程方法，比如泰勒展开的方法或证明极限不存在

追答

复变函数里面的洛朗级数不就等同于实变里面的泰勒级数吗，

你前面已经都知道展开了，还用的着我再来一次吗？

sin[1/(z-1)]=∑(-1)^n/(2n+1)!·1/(z-1)^(2n+1)

∴  (z-1)sin[1/(z-1)]=∑(-1)^n/(2n+1)!·1/(z-1)^(2n)

追问

sin在0和无穷处或者其他点的展开方法是一样的？

追答

差不多

Answer 2

f(z)的奇点z0就是在z0的邻域内解析，而在z0不解析，或者没定义。一般判断就是令分母为0的点。