如图 在等腰三角形ABC中,CH是底边上的高线,点P事线段CH

Question

2008•杭州）如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE=∠CBF；（2）证明：AE=BF；（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG，如果存在点P，能使得S△ABC=S△ABG，求∠C的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，
∴AC=BC，∠ACP=∠BCP．
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△BCP．
∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF．

（2）证明：∵在△ACE与△BCF中，
∠ACE＝∠BCF
AC＝BC
∠CAE＝∠CBF
，
∴△ACE≌△BCF（ASA）．
∴AE=BF．

（3）解：∵由（2）知△ABG是以AB为底边的等腰三角形，
∴S△ABC=S△ABG．
∴AE=AC．
①当∠ACB为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE＞AC，所以结论不成立；
②当∠ACB为锐角时，∠CAH=90°-
1
2
∠ACB，而∠CAE＜∠CAH，要使AE=AC，只需使∠ACB=∠CEA，
此时，∠CAE=180°-2∠ACB，
只须180°-2∠ACB＜90°-
1
2
∠ACB，
解得：60°＜∠ACB＜90°．

Answer 2

因为CH为三角形底边高，所以AP=BP，又因为CA=CB,所以三角形CPA全等于三角形CBP，所以角CAE=CBF。得证！

Answer 3

第一题这样更简单！因为CH为AB中垂线，所以AP=BP，所以∠PAB=∠PBA,又因为∠CAB=∠CBA,所以∠CAE=∠CBF.

Answer 4

（1）因为在等腰△ABC中AC=BC,CH是底边上的高线,所以∠ACH=∠BCH, 即∠ACP=∠BCP。
因为∠CAE=∠CBF，即∠CAP=∠CBP，又因为AC=BC，CP=CP,所以△ACP和△BCP全等，所以∠CAP=∠CBP。
因为AC=BC,∠CAP=∠CBP,∠ACE=∠ACB=∠BCF,所以△ACE和△BCF全等，所以∠CAE=∠CBF。
（2）因为△ACE和△BCF全等，所以AE=BF。
（3）由于△ABC和△ABG同底，要使S△ABC=S△ABG，必须要使两者的高相等。假设△ABG在AB边上的高是GQ，则CH=GQ。
因为AE=BF，所以在等边△ABG中，AQ=BQ=1/2AB。
同样在等腰△ABC中，AH=BH=1/2AB。
因此AH=BH=AQ=BQ。
又因为∠AHC=∠BHC=∠AQC=∠BQC=90°,CH=GQ,所以△AHC，△BHC,△AQG和△BQG全等，所以AC=BC=AG=BG，即AC=BC=AE=BF。
所以∠ACE=∠ACB=∠AEC,∠BFC=∠ACB=∠BCF。
当∠ACB=100°,不存在一点P满足∠ACB=∠AEC=100°。
当∠ACB=80°,存在一点P满足∠ACB=∠AEC=80°。
因此,当∠ACB=100°时,不存在点P,能使得S△ABC=S△ABG成立；,当∠ACB=80°时,存在点P,能使得S△ABC=S△ABG成立.追问

你回答错了吧，跟书上不一样的