如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE=BF．

Question

（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．

Answer 1

（1）如图所知：因为在正方形ABCD中，所以AB=BC=CD=DA,
又因为AE=BF，所以由此得出三角形DAE与三角形ABF为全等三角形。
因此AF=DE,
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，
连接HI、HJ、JK、KH形成四边形HIJK，
因为点H、K是三角形AED的中位线，所以HK//ED,且HK=1/2DE
又因为点I、J是三角形FDE的中位线，所以IJ//ED，且IJ=1/2DE
因为HK//ED，IJ//ED，且HK=1/2DE，IJ=1/2DE，所以HK//IJ，且HK=IJ
同理，点H、I是三角形AEF的中位线，所以HI//AF，HI=1/2AF
点K、J是三角形DAF的中位线，所以KJ//AF，KJ=1/2AF
因为HI//AF，KJ//AF，且HI=1/2AF，KJ=1/2AF，所以HI//KJ，HI=KJ
由（1）可得AF=DE，则HK=IJ=HI=KJ
因为HK//IJ，HI//KJ，且HK=IJ=HI=KJ，所以四边形HIJK是正方形

Answer 2

分析：（1）根据已知利用SAS判定△DAE≌△ABF，由全等三角形的判定方法可得到AF=DE.

（2）根据已知可得HK，KJ，IJ，HI都是中位线，由全等三角形的判定可得到四边形四边都相等且有一个角是直角，从而来可得到该四边形是正方形．
解：（1）AF=DE．
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，
∵AE=BF，
∴△DAE≌△ABF，
∴AF=DE．
（2）四边形HIJK是正方形．
如下图，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，
∴HI=KJ=1/2AF,HK=IJ=1/2ED
∵AF=DE，
∴HI=KJ=HK=IJ，
∴四边形HIJK是菱形，
∵△DAE≌△ABF，
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∴∠KHI=90°，
∴四边形HIJK是正方形.