如图，已知抛物线 与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标

Question

如图，已知抛物线 与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）； （2）M点坐标为（2，﹣3）或（1+ ，3）或（1﹣ ，3）； （3）结论：在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．

试题分析：(1)令Y=0,X=0就可以得到 根据已知先求得对称轴,由于△MAD的面积与△CAD的面积相等,所以有两种情况,一种是点M在X轴下方,此时点M与点C关于对称轴对称,另一种是点M在X轴上方,由于面积相等,而AD是两个三角形公用的,所以可知点M的纵坐标为3,将Y=3代入解析式就可求得. 分情况讨论,一种是BC、AP为底，此时P点与D点重合；一种是AB、CP为底，此时要先求出AB所在直线的解析式，然后根据互相平行的两直线的K值相等，求出CP的解析式，与二次函数的解析式联立，得到方程组，求解即可得到。 试题解析：（1）∵y= x 2 ﹣ x﹣3，∴当y=0时， x 2 ﹣ x﹣3=0， 解得x 1 =﹣2，x 2 =4．当x=0，y=﹣3． ∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）； （2）∵y= x 2 ﹣ x﹣3，∴对称轴为直线x= =1． ∵AD在x轴上，点M在抛物线上， ∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况： ①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称， ∵C点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）； ②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3．当y=3时， x 2 ﹣ x﹣3=3，解得x 1 =1+ ，x 2 =1﹣ ， ∴M点坐标为（1+ ，3）或（1﹣ ，3）． 综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+ ，3）或（1﹣ ，3）； （3）结论：存在． 如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意： ①若BC∥AP 1 ，此时梯形为ABCP 1 ． 由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P 1 与D点重合， ∴P 1 （﹣2，0）．∵P 1 A=6，BC=2，∴P 1 A≠BC，∴四边形ABCP 1 为梯形； ②若AB∥CP 2 ，此时梯形为ABCP 2 ． ∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），∴直线AB的解析式为y= x﹣6， ∴可设直线CP 2 的解析式为y= x+n，将C点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3， ∴直线CP 2 的解析式为y= x﹣3．∵点P 2 在抛物线y= x 2 ﹣ x﹣3上， ∴ x 2 ﹣ x﹣3= x﹣3，化简得：x 2 ﹣6x=0，解得x 1 =0（舍去），x 2 =6， ∴点P 2 横坐标为6，代入直线CP 2 解析式求得纵坐标为6，∴P 2 （6，6）． ∵AB∥CP 2 ，AB≠CP 2 ，∴四边形ABCP 2 为梯形． 综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．