一到关于数学数列的题

Question

↑卷中的第19题
考试考到的，马上分班考了，卷子来不及讲，有谁会的帮忙解答一下谢谢

Answer 1

19.
1.
证：
等式两边同除以a(n+1)an
S(n+1)/a(n+1) -Sn/an=2^(n-1)
Sn/an-S(n-1)/a(n-1)=2^(n-2)
S(n-1)/a(n-1)-S(n-2)/a(n-2)=2^(n-3)
…………
S2/a2-S1/a1=1
累加
Sn/an -S1/a1=1+2+...+2^(n-2)=1×[2^(n-1) -1]/(2-1)=2^(n-1) -1
Sn/an=S1/a1+2^(n-1) -1=a1/a1+2^(n-1) -1=1+2^(n-1) -1=2^(n-1)
Sn=2^(n-1) ×an
2.
S(n+1)=2ⁿ×a(n+1)=Sn+a(n+1)=2^(n-1) ×an+a(n+1)
2^(n+1)an=(2ⁿ-1)a(n+1)

an/a(n+1)=(2ⁿ-1)/2^(n+1)=1/2 -1/2^(n+1)
bn=1/2 -1/2^(n+1)

Tn=b1+b2+...+bn
=n/2 -[1/2²+1/2³+...+1/2^(n+1)]
=n/2 -(1/4)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)
=(n -1+1/2ⁿ)/2

Answer 2

1)利用数学归纳法，n=1时，显然成立，然后假定n=N时成立，利用地推公式很容易得到n=N+1时成立
2) S(n+1)=2^na(n+1) = 2^(n-1)a^n +a^(n+1)
这样可以得到 b(n)=a(n)/a(n+1) = (2^n -1)/2^(n-1) = 2-1/2^(n-1)
求和很简单的