幂级数x^n/(n(n-1)的和函数 n从2到无穷

Question

如题所述

Answer 1

f(x) = Σ x^n/(n(n-1)
求导：
f'(x) = Σ x^(n-1) / (n-1)
再求导：
f''(x)= Σ x^(n-2)

求两次导之后是个等比级数
f''(x) = 1/(1-x) ，其中|x|<1
两边积分：
f'(x) = ∫ 1/(1-x) dx = -ln(1-x)
再积分：
f(x) = x + ln(1-x) - xln(1-x),其中|x|<1
******************************
思路如此，计算自己检查一下。追问

f''(x)= Σ x^(n-2)怎么化成1/(1-x)

Answer 2

设 S=
x^n/(n(n-1)
进行求导得S'=x^(n-1)/n-i

继续求导得S''=x^(n-2)=1/1-x
然后再积分回去 2/(1-x)^3