求（1+tanx)/sin2x的积分

Question

如题所述

Answer 1

∫ (1+tanx)/sin2x dx
= ∫ csc2x * (1+tanx) dx
= ∫ csc2x dx + ∫ csc2x * tanx dx
= (1/2)∫ csc2x d(2x) + ∫ sinx/cosx * 1/(2sinxcosx) dx
= (1/2)ln|csc(2x)-cot(2x)| + (1/2)∫ sec²x dx
= (1/2)ln|1/sin2x-cos2x/sin2x| + (1/2)tanx + C
= (1/2)ln|[1-(1-2sin²x)]/(2sinxcosx)| + (1/2)tanx + C
= (1/2)(ln|tanx| + tanx) + C

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Answer 2

y=Asin(ωx α)和y=Acos(ωx α)的最小正周期T=2π/ω.y=tan(ωx α)和y=cot(ωx α)的最小正周期T=π/ω.其中ω是x的系数，也叫三角函数的圆频率。sin2x的ω=2，故T=2π/2=π.tan(x/2)的ω=1/2，故T=π/（1/2）=2π.下面求f(x)=sin2x tan(x/2)的最小正周期。ω1=2，ω2=1/2，ω1和ω2的最小公倍数为2，即2/2=1，2/（1/2）=4，故f(x)的最小正周期是2π.事实上，f(x 2π)=sin[2(x 2π)] tan[(x 2π)/2]=∫ csc2x * (1+tanx) dx=∫ csc2x dx + ∫ csc2x * tanx dx= (1/2)∫ csc2x d(2x) + ∫ sinx/cosx * 1/(2sinxcosx) dx= (1/2)ln|csc(2x)-cot(2x)| + (1/2)∫ secx dx= (1/2)ln|1/sin2x-cos2x/sin2x| + (1/2)tanx + C本回答被提问者和网友采纳