如图，边长为a的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，且 ，将△AED、△CFD分别沿DE、DF折起，使A、C两
如图，边长为a的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，且 ，将△AED、△CFD分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点 ，连结A¢B． （Ⅰ）判断直线EF与A¢D的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角F－A¢B－D的大小．
（Ⅰ）异面垂直;（Ⅱ） . |
| 试题分析：（Ⅰ）先证明A¢D⊥面A¢EF即可得EF与A¢D的位置关系是异面垂直； （Ⅱ）先作出并证明ÐOHF是二面角F－A¢B－D的平面角，再利用解三角形的方法求出ÐOHF的大小. 试题解析：（Ⅰ）A¢D⊥EF． 1分 证明如下：因为A¢D⊥A¢E，A¢D⊥A¢F， 所以A¢D⊥面A¢EF，又EFÌ面A¢EF， 所以A¢D⊥EF．  直线EF与A¢D的位置关系是异面垂直 4分 （Ⅱ）方法一、设EF、BD相交于O，连结A¢O，作FH⊥A¢B于H， 连结OH， 因为EF⊥BD， EF⊥A¢D． 所以EF⊥面A¢BD，A¢BÌ面A¢BD， 所以A¢B⊥EF，又A¢B⊥FH， 故A¢B⊥面OFH，OHÌ面OFH， 所以A¢B⊥OH， 故ÐOHF是二面角F－A¢B－D的平面角．  ，A¢E＝A¢F＝ ，EF＝ ，则 ，所以，△A¢EF是直角三角形，则  ，则  ， ，∴ ， ，则A¢B＝  ，所以 ，所以， tanÐOHF＝  ，故ÐOHF＝ ．所以二面角F－A¢B－D的大小为 ． 12分方法二、设EF、BD相交于O，连结A¢O，作  于G，可得A¢G⊥面BEDF， ，A¢E＝A¢F＝ ，EF＝ ，则 ， 所以，△A¢EF是直角三角形，则 ，则  ，则 ，∴ ， ，所以  ， ，则 ， 分别以BF、BE为空间直角坐标系的x、y轴，建立如图坐标系，则  ， ，  ， ，故 ， ， ， ，因  ， ，故面A¢BD的一个法向量 ，设面A¢BF的一法向量为
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