三角形十二心的性质

Question

如题.注:不是问十二心是什么,问的是各个心的性质.谢谢.

Answer 1

三角形共有五心：
内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
垂心：三条高所在直线的交点。
性质：此点分每条高线的两部分乘积
旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点
性质：到三边的距离相等。
6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。
（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）外心扫三顶点的距离相等；
（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；
（4）内心、旁心到三边距离相等；
（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）外心是中点三角形的垂心；
（7）中心也是中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。

Answer 2

三角形的十二心

外心：三边中垂线交点。

内心：三个内角角平分线交点。

垂心：三条高线交点。

重心：三条中线的交点。

旁心：一个内角平分线与另两个角的外角平分线交点。

格高尼点：ABC内切圆切三边与D、E、F，AD、BE、CF的共点。

威毕特点：ABC两边AB、AC各向外正方形ABDE、ACFG，若AP垂直BC于P，则AP、BF、CD共点。

费马点：ABC三边各向外做正三角形ABC'、BCA'、CAB'，则AA'、BB'、CC'三线共点，该点到三边距离和最小。

伪垂心：设AD、BE、CF为ABC的三条高，D、E、F关于三边中点的对称点为D'、E'、F'，则AD'、BE'、CF'三线共点。

界心：设D、E、F分别在ABC的三边BC、CA、AB上，若AD、BE、CF把ABC的周界分成两条等长的折线，则AD、BE、CF三线共点。

陪位重心：AD、BE、CF为三角形的中线，D。、E。、F。分别在BC、CA、AB上，若角BAD=角D。AC，角CBE=角E。BA，角ACF=角F。CB，则AD。、BE。、CF。三线共点。

布洛卡点：已知P为ABC内一点，若角PAB=角PBC=角PCA=a，则P为布洛卡点，a为布洛卡角.