有理函数的不定积分怎么拆

Question

如题所述

Answer 1

有理函数的不定积分拆分方法如下：

首先分母分解因式。然后拆分成各因式为分母的分式和，分子用待定系数。在有意义的情况下，是任何一个赋值都会满足的，因为本身有理式的拆分就是一个恒等式求解的过程，那么你无论给左右两边取什么值，只要这个值在定义域内，该等式一定成立的。

而且如果不采用赋值法的话，就直接进行同分，最后我们用到的定理叫做多项式恒等定理，效果是一样的。

拓展知识：

所谓有理函数，其实就是两个仅由幂函数构成的多项式相除，当然，一个单独的幂函数也是有理函数。如果要对上面一个相对复杂一点有理函数进行积分，我们需要改变有理函数的形式，使其变成我们可以处理的形式再积分，而这个过程就是有理函数的积分。

对于有理函数的积分，可以总结为以下几个步骤：预处理，把假分式通过一定的手段化为多项式与真分式的和；因式分解，把原式的分母进行因式分解，分解至分母中的因子最高次数为二次且不可继续分解。

拆分有理函数，按照讲的规则，把真分式拆成几个简单真分式的和；求待定系数，常见的有通分并对比系数和留数法；求解积分，通常会用到凑微分法。

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。若在有限区间上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。