在正方形ABCD中，点E在BC边上，点F在CD边上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H。求证：AH=AB

Question

如题所述

Answer 1

证:将Rt△ADF以A为中心，顺时针旋转90°，使AD与AB重合，F到F',则F',B,E共线，∠F'AE=∠EAF，又AE=AE,AF'=AF,故△AEF≌△AEF',EF=EF',故其上的高也相等，即AH=AB

Answer 2

：（1）将正方形ABCD以A为顶点，以AD为边顺时针旋转90°与AB重合．设旋转后的正方形为AD1C1B1那么B与D1重合．且F1，B，E三点共线．

　　由旋转的性质可知∠F1AF=2∠EAF=90°，AF=AF1

　　∴∠F1AE=90°-45=45°=∠EAF．

　　三角形AF1E和AEF中，

　　∵∠F1AE=∠EAF，AF=AF1，AE=AE，

　　∴△AF1E≌△AFE．

　　∵AH，AB为两三角形对应边EF，F1E上的高，

　　∴AH=AB．

　　（2）由（1）得，AH=AB．

　　在直角三角形AHF和AFD中，

　　∵AH=AB，AF=AF，

　　∴△AHF≌△ADF（HL）．

　　∴HF=DF．

　　由（1）得出的全等三角形可知：BE=EH．

　　∴EF=EH+HF=BE+DF．

Answer 3

证明如下：过A作∠DAG=∠BAE，延长CD交∠DAG于G，易证△DAG≌△BAE，因为AE=AG，∠EAF=∠FAG=45°，AF=AF，所以，△EAF≌△FAG，所以全等三角形对应边的高相等。

希望对你有帮助