说一个经典力学里面比较冷门的，“维科（Vacco）方程”。Vacco直接引入拉格朗日乘子通过变分法推导一般约束下的动力学方程（用来统一第一类拉格朗日方程与劳斯方程），推导时默认了积分符号与变分符号的可交换性。然而后来有学者对一般约束条件下积分符号与变分符号的可交换性提出了质疑，并将冰刀做为反例来反驳方程的正确性。不过Vacco为非完整约束动力学系统提出了一个新的思路，目前还有人在研究如何改进Vacco方程使得其可以用于各种情况。
物理学中，特别是量子物理常常使用到算符的概念。如动量算符、角动量算符、哈密顿算符、拉格朗日算符等等。下面主要介绍量子物理算符的一些概念：
量子物理学中，算符是一个函数，作用于物理系统的物理态 (physical state)，使这个物理态变换为另外一个物理态。 算符可以应用於经典力学的对称性的研究，是一个非常有用的工具。在量子力学里，算符概念也是理论表述不可缺少的一部分。[2]
对于量子力学，我们关心的物质世界，为了方便量化，可以简单的称之为“系统”。 也就是说需要了解和改变的对象，是系统。 那么如何描述一个系统呢，在这里，就引入了“态”的概念。 系统的态，从字面上，就是系统所处的状态。 严格上说，“态”就是包含了对于一个系统，我们所有“有可能”了解的信息的总和。 在这个抽象定义的基础上，为了描绘“态”，引入了“态函数”，用一个函数来代表一个态，到这里就可以将问题数学化和具体化了。
太阳系稳定性问题与三体问题，常微分方程解的稳定性与混沌，算半个。
当时拉普拉斯搞出常微分方程解的稳定性定理就宣布太阳系是稳定的，谁知道后来出了一堆BUG妖蛾子和蝴蝶差点让经典的决定论数学和物理学声名扫地。
常微分方程的解在固定的时间对小扰动是收敛稳定的，但在时间趋向无穷的情况下则未必收敛稳定。即收敛未必一致收敛，而拉普拉斯在世的时候还没发明一致收敛的概念(谢评论补充)。
牛顿发明微积分的时候对于无穷小的概念很模糊，后来用了几百年才补起来数学分析的严格基础，包括求极限不能随便交换这个现在成为常识的概念。
我印象中，直接出现这样的「错误」的例子并不多
除非有明确的物理原因，否则一般都假设物理中出现的函数是「足够光滑」的
这个明确的物理原因一般是指事先就知道的状态上的突变
比如在学普物电磁学的时候，讲麦克斯韦方程组，会同时讲积分形式和微分形式，而且实际上用微分形式用得更多，但是，有一种情况是必须用积分形式的，即在两种介质的分界面上：电磁场的边界条件，微分形式压根就不能用
也就是说，绝大多数情况下，是通过物理办法而不是数学办法，来发现所研究的「函数性质不够好」的
不过说到不可交换，显然量子力学就是了，比如所谓的对易关系。
