如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长

如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是______．

推荐答案推荐于2019-08-19

答案：

解题思路：

①求DH的最小值，我们发现正方形的顶点D是固定点，H是动点，
我们需要研究H的位置是否具有关键性质，这个时候需要进行边角关系的研究；
②由题干条件我们知道△EAB≌△FDC，则∠ABE=∠DCF，而△DGA≌DGC（SAS），
∴∠DAG=∠DCG，
∴∠DAG=∠ABE，
∵∠DAG+∠HAB=90°，
∴∠ABE+∠HAB=90°，
∴AH⊥HB，
这个时候我们得到了垂直关系，知道△HAB是直角三角形；
③结合最值问题中常用的三个定理，我们取AB中点M，连接HM，DM，如图所示：

此时DH≥DM-HM，且这三点共线时，取等号，此时DH=DM-HM，
易求得HM=1，,
∴，至此得出DH的最小值为

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其他回答

第1个回答推荐于2018-03-08

解：在正方形ABCD中，∵AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，由

AB＝CD

∠BAD＝∠CDA

AE＝DF

可得△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2．
同理可证△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°．
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO=

AB=1，在Rt△AOD中，OD=

AO知道答主

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这道题的关键在于能够判断出 AH始终垂直于BE. 也就是说角AHB永远是直角. H是动点.

那么, 对于一个动点H来讲, 什么情况下角AHB一直是直角呢? 显然, 根据圆的知识, 这个H动点的轨迹是以AB为直径的圆上(直径对的圆周角永远是直角).

明白了H点的轨迹是个圆以后, 就非常好理解, 为什么只有在H点在D和圆心O的连线上的时候, DH 出现了最小值.

网上的很多回答直接取AB的中点,然后连线, 说明解题过程. 这种解法的一个重要的缺陷是, 这个取AB中点进行连线的想法是从何而来? 没有任何逻辑说明为什么会有这么个奇妙的想法. 就像魔术师突然从帽子里变出个兔子来.

【一些补充】

【做完后的回顾】做完一道题后，总是要回顾一下，打扫战场。

这道题涉及到了动点的问题。动点-->动点的轨迹问题--- 平面几何中动点的轨迹无外乎直线，圆，椭圆，抛物线等。它会是什么呢？ ---- 观察图形。好像暂时看不出来。

没关系。试试看。照题目条件画画看，看动点的几个不同的位置。---猜想，可能是圆。圆--- 那么圆的圆心在哪儿？回到题目去，观察图形，角AHB好像是直角，猜想对吗？试试看，看起来像。

如果是证明题的话，如何证明？
条件中有线段相等，正方形，直角，。。。在这种条件下，常见的做法有哪些？找全等。全等三角形有吗？好像有。往题目给出的条件靠拢。做题中间，可以停下来问问自己，我走在正确的方向上吗？好像是，为什么，因为题目的不少条件我能用上，好继续走下去。。。

除了求出最小值外，还有没有其他的收获呢？比如说，看看H点和A点重合或者B点重合会是什么结果？可能重合吗？这个思维就是特殊化的思维。

这道题有没有其他的解法呢？等等。。。也许刚开始就应该找特殊化的例子，比如E.F点重合了呢，就是AD 的中点，这下应该容易多了吧，嗯，重合的时候，比较容易看出角AHB 是个直角。有点用。
进一步思索，是不是这种思维方法有普遍性？也许以后碰到其他问题，可以尝试着先特殊化一下，特殊化是一个属于普遍化集合中的一个子集合，如果大的集合有某种规律的话，小的子集合必然也有。。。。

这儿只是举一些例子。做每一道题，都有要这样的思维过程，这样的话，就可以深刻

理解题目，锻炼自己的思维，举一反三，避免陷入题海战术。

第2个回答 2016-01-10

建议给“最快回答”采纳，他的思路很好！
解：在正方形ABCD中，∵AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，由

AB＝CD
∠BAD＝∠CDA
AE＝DF

可得△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2．
同理可证△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°．
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO=
1
2
AB=1，在Rt△AOD中，OD=
AO2+AD2
=
1+4
=
5
．
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH的最小值为OD-OH=
5
-1．
故答案为：
5
-1．

第3个回答 2020-04-08

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客官您好！
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