如图，四边形ABCD是任意四边形，过点A，C作BD的平行线，再过点B、D作AC的平行线，设四条直线的交点为P，Q

Question

如图，四边形ABCD是任意四边形，过点A，C作BD的平行线，再过点B、D作AC的平行线，设四条直线的交点为P，Q，M，N．（1）按要求补全图形，并判断四边形PQMN的形状．（2）图中有多少个平行四边形？设四边形ABCD的面积为4，则四边形PQMN的面积为多少？（3）如果AC⊥BD，则四边形PQMN是什么四边形？若AC=BD，则四边形PQMN是什么四边形？若四边形PQMN是正方形，则AC与BD应满足什么条件？

Answer 1

解：（1）做出相应的图形，如图所示，四边形PQMN为平行四边形，
理由为：∵PN∥BD∥QM，PQ∥AC∥MN，
∴四边形PQMN为平行四边形；

（2）图中有9个平行四边形，分别为四边形PDOA，四边形DOCQ，四边形AOBN，四边形OBMC，四边形ACQP，四边形ACMN，四边形PDBN，四边形BDQM，四边形PQMN，
设四边形ABCD的面积为4，即S_△AOD+S_△COD+S_△AOB+S_△BOC=4，
则四边形PQMN的面积为2（S_△AOD+S_△COD+S_△AOB+S_△BOC）=8；

（3）如果AC⊥BD，则四边形PQMN是矩形，理由为：
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵四边形AODP为平行四边形，
∴四边形AODP为矩形，
∴∠P=90°，
∵四边形PQMN为平行四边形，
∴四边形PQMN为矩形；
若AC=BD，则四边形PQMN是菱形，理由为：
∵四边形ACQP与四边形BDQM为平行四边形，
∴PQ=AC，BD=QM，
∵AC=BD，
∴PQ=QM，
∵四边形PQMN为平行四边形，
∴四边形PQMN为菱形；
若四边形PQMN是正方形，则AC与BD应满足AC⊥BD，AC=BD，理由为：
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵四边形AODP为平行四边形，
∴四边形AODP为矩形，
∴∠P=90°，
∵四边形PQMN为平行四边形，
∴四边形PQMN为矩形，
∵四边形ACQP与四边形BDQM为平行四边形，
∴PQ=AC，BD=QM，
∵AC=BD，
∴PQ=QM，
∴四边形PQMN为正方形．