如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B．求证：AB=AC+CD

Question

如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B．求证：AB=AC+CD．

Answer 1

见解析

试题分析：由∠1=∠B可根据等角对等边可得DE=BE，根据三角形外角的性质可得∠AED=2∠B，由∠C=2∠B可得∠AED=∠C，再结合AD平分∠CAB，公共边AD可得△CAD≌△EAD，从而可以证得结论。 ∵∠1=∠B ∴DE=BE，∠AED=2∠B ∵∠C=2∠B ∴∠AED=∠C ∵AD平分∠CAB ∴∠CAD=∠BAD 又AD=AD ∴△CAD≌△EAD ∴AE=AC，CD=DE=EB ∴AB=AE+EB=AC+CD. 点评：解答本题的关键是掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。同时熟练掌握全等三角形的对应边相等的性质。

Answer 2

用等角对等边证明。
∠B=∠1→AD=BD
∵∠ADC=∠B+∠1=2∠B
∠C=2∠B
∴∠C=∠ADC→AC=AD
∴AC=BD
∴BC=AC+CD
∵AD是△ABC的角平分线，∠B=∠1
∴∠BAC=2∠B
∴∠BAC=∠C
∴AB=BC
∴AB=AC+CD

Answer 3

∠AED
=
∠1
+
∠B
=
∠C，这样可以证明△ACD全等与△AED，从而AC
=
AE
又因为∠1
=
∠B，所以DE=
EB。
所以AB
=
AE
+
EB
=
AC
+
CD