如何判断函数是否严格单调递增？

Question

如题所述

Answer 1

对于(a)部分，我们可以对函数g(z)求导，然后找到导数为0的点，即可得到最小值。

函数g(z)的导数为：log(x)

函数g(z)的临界点为：[1]

所以，函数g(z)的最小值为：0

对于(b)部分，我们可以对函数h(z)求导，然后判断导数的符号，即可得到函数h(z)的单调性。

函数h(z)的导数为：3*xlog(3)

因为h_diff > 0，所以函数h(z)是严格单调递增的。

Answer 2

要判断一个函数是否单调递增，可以按照以下步骤进行：

确定函数的定义域：首先要确定函数的定义域，即函数在哪个区间内是有定义的。

计算函数的导数：对给定函数求导，得到它的导函数。导函数表示了函数的斜率或变化率。

分析导函数的符号：在定义域内，观察导函数的符号。如果导函数在定义域内始终大于零（正），则函数是递增的；如果导函数在定义域内始终小于零（负），则函数是递减的。

检查特殊点和边界：在定义域内，检查导函数在特殊点（如极值点、不可导点）和边界点处的符号。这些点可能对函数的单调性有影响。

结论：根据导函数的符号以及特殊点和边界的检查，得出函数的单调性结论。

需要注意的是，判断函数是否单调递增的关键是观察导函数的符号。如果导函数始终大于零，函数在整个定义域内都是递增的；如果导函数始终小于零，函数在整个定义域内都是递减的。如果导函数的符号有变化，说明函数在某些地方可能存在拐点或极值点，需要进一步分析。

此外，对于一些特殊的函数形式，如多项式函数、指数函数、对数函数等，也可以利用它们的性质和图像来判断它们的单调性。在具体判断时，可以结合导数的方法和图像的观察来进行分析。

总之，判断函数是否单调递增需要计算导数并观察导函数的符号，在特殊点和边界处进行额外检查，从而得出函数的单调性结论。

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