| 原式=A=1×3×5×…×1999， 则A=（1×3×5×7）?（9×11×13×15）?（17×19×21×23）?…?（123×125×127×129）?…（1993×1995×1997×1999）， 则A=125×[（1×3×5×7）?（9×11×13×15）?（17×19×21×23）?…?（123×127×129）?…（1993×1995×1997×1999）]， 下面证明两个引理： 引理1：125的奇数倍的末尾3位数只能是125、375、625、875中之一 证明：设k为奇数，则k除以8余数只有1，3，5，7． 则k=8m+i，其中i=1，3，5，7， 那么 k×125=k×（8m+i）=1000×m+125×i， 即k×125的末3位数字是125、375、625、875中之一 引理2：四个连续奇数的乘积除以8的余数是1 证明：设B=（2n+1）（2n+3）（2n+5）（2n+7） =（4n 2 +8n+3）（4n 2 +24n+35） 当n=2m时，B≡1 mod（8） 当n=2m+1时，B≡1 mod（8） 综上，四个连续奇数的乘积除以8的余数是1 ∴[（1×3×5×7）?（9×11×13×15）?（17×19×21×23）?…?（123×127×129）?…（1993×1995×1997×1999）] ≡1?1?…?（123×127×129）?…1mod（8）， ≡5 mod（8）， ∴A=125×（8k+5）=1000k+625，其中k为正整数． 综上1×3×5×…×1999的末尾3位数是625． |