求n=1×3×5×7×…×1999的末三位数字

求n=1×3×5×7×…×1999的末三位数字.


原式=A=1×3×5×…×1999,
则A=(1×3×5×7)?(9×11×13×15)?(17×19×21×23)?…?(123×125×127×129)?…(1993×1995×1997×1999),
则A=125×[(1×3×5×7)?(9×11×13×15)?(17×19×21×23)?…?(123×127×129)?…(1993×1995×1997×1999)],
下面证明两个引理:
引理1:125的奇数倍的末尾3位数只能是125、375、625、875中之一
证明:设k为奇数,则k除以8余数只有1,3,5,7.
则k=8m+i,其中i=1,3,5,7,
那么
k×125=k×(8m+i)=1000×m+125×i,
即k×125的末3位数字是125、375、625、875中之一
引理2:四个连续奇数的乘积除以8的余数是1
证明:设B=(2n+1)(2n+3)(2n+5)(2n+7)
=(4n 2 +8n+3)(4n 2 +24n+35)
当n=2m时,B≡1 mod(8)
当n=2m+1时,B≡1 mod(8)
综上,四个连续奇数的乘积除以8的余数是1
∴[(1×3×5×7)?(9×11×13×15)?(17×19×21×23)?…?(123×127×129)?…(1993×1995×1997×1999)]
≡1?1?…?(123×127×129)?…1mod(8),
≡5 mod(8),
∴A=125×(8k+5)=1000k+625,其中k为正整数
综上1×3×5×…×1999的末尾3位数是625.

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