如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）求证：D1F⊥平面ADE；（2）若AB=1，求三

Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）求证：D1F⊥平面ADE；（2）若AB=1，求三棱锥D1-DEF的体积．

Answer 1

解答：（1）证明：取AB中点G，连接A₁G，FG．
因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，
又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，故GFD₁A₁是平行四边形，A₁G∥D₁F．
因为△A₁AG≌△ABE，所以A₁G⊥AE，
所以D₁F⊥AE．
因为AC₁是正方体，
所以AD⊥面DC₁．
又D₁F?面DC₁，
所以AD⊥D₁F．
因为AD∩AE=A，
所以D₁F⊥平面ADE；
（2）解：因为AB=1，BC⊥平面D₁DF，
所以转换底面，三棱锥D₁-DEF的体积可转换为以△D₁DF为底面，BC为高的三棱锥，其中DD₁=BC=1，DF=

1

2

所以可得V_D1-DEF=V_E-D1DF=

1

3

×

1

2

×1×

1

2

×1=

1

12

．