高中函数（文数）的几道题目

Question

都是解答题哦~请亲们帮助、
1。函数f(x)=ax+b/1+x^2是定义在（-1,1）上的奇函数，且f(1/2）=2/5
（1）求f(x)的解析式
（2）用定义证明f(x)在（-1,1）上是增函数。

2。对于函数f(x)=log(1/2）（x^2-2ax+3) 【注：括号较小的。log后面的1/2其实是底数，因为不好打！我只能这样打了！！】
（1）。若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围。
（2）若函数f(x)在(-∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围。

3，已知关于x的方程x^2+（1/2-2m）+m^2-1=0 （m是与x无关的实数）的两个实根在区间[0,2]内，求m的取值范围。

以上几道题目请大家帮忙指点哈。。过程要详细一点。。最好要有思路。。现在我快读高二了。。这些都是2011年的高考复习题目里面抽出来的。补习老师给我们做的。。对函数这块我不大理解。。请大家指点。。给出详细答案、过程，思路……谢谢 +5分
好的追分！~
今天之内就要的啊！！请大家帮忙啊！！

Answer 1

1。函数f(x)=ax+b/1+x^2是定义在（-1,1）上的奇函数，且f(1/2）=2/5
（1）求f(x)的解析式
（2）用定义证明f(x)在（-1,1）上是增函数。

解：（1）因为函数f(x)=ax+b/1+x^2是定义在（-1,1）上的奇函数
所以f(-x)=-f(x),即-ax+b/1+x^2=-ax-b/1+x^2，则b/1+x^2=-b/1+x^2，所以b=0.
因为f(1/2）=2/5，即f(1/2）=（1/2）a=2/5，所以a=1,
所以f(x)的解析式为f(x)=x/1+x^2.
（2）在（-1,1）上任意取x1,x2，使x1<x2，
则f(x1)-f(x2)=x1/1+x1^2-x2/1+x2^2=[(x1x2-1)(x2-x1)]/[（x1^2+1)(x2^2+2)]
因为-1<x1<x2<1，
所以x2-x1>0, x1x2-1<0.
所以f(x1)-f(x2)<0即f(x1)＜f(x2)
所以f(x)在（-1,1）上是增函数。

2。对于函数f(x)=log(1/2）（x^2-2ax+3) 【注：括号较小的。log后面的1/2其实是底数，因为不好打！我只能这样打了！！】
（1）。若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围。
（2）若函数f(x)在(-∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围。

解：(1)由题意知：x^2-2ax+3＞0，
因为函数f(x)的定义域为R，
所以b^2-4ac=(-2a)^2-4*1*3＜0,
即4a^2-12＜0,解之得：-根号3＜a＜根号3.
(2)由题意知：x^2-2ax+3＞0，
则根号3＜a＜根号3.
令x^2-2ax+3=t（t＞0），
因为f(t)=log(1/2）t在定义域内为减函数，
又因为函数f(x)在(-∞，1]内为增函数，
所以函数t=x^2-2ax+3在(-∞，1]内为减函数。
函数t的对称轴为x=a，
要使函数t=x^2-2ax+3在(-∞，1]内为减函数，则a≥1.
所以要使函数f(x)在(-∞，1]内为增函数，则a＞根号3。

3，已知关于x的方程x^2+（1/2-2m）x+m^2-1=0 （m是与x无关的实数）的两个实根在区间[0,2]内，求m的取值范围。
解：要使方程x^2+（1/2-2m）x+m^2-1=0有两个根，
则b^2-4ac=（1/2-2m）^2-4(m^2-1) ≥0，即m≤17/8，
要使方程x^2+（1/2-2m）x+m^2-1=0的两个实根在区间[0,2]内，
令f（x）= x^2+（1/2-2m）x+m^2-1,函数f（x）的对称轴x=m-1/4
则f（0）≥0,f(2)≤0,0<m-1/4<2
即f（0）= m^2-1≥0，即m≥1或m≤-1,
f(2)=4+（1/2-2m）*2+m^2-1=m^2-4m+4≤0,即(m-2)^2≤0,
所以m=2.
由0<m-1/4<2，得：1/4<m<9/4.
所以要使方程x^2+（1/2-2m）x+m^2-1=0的两个实根在区间[0,2]内，则1≤m≤17/8.

Answer 2

解析：由函数f(x)=ax+b/1+x^2是定义在（-1,1）上的奇函数，且f(1/2）=2/5
∴f(-1/2)=-f（1/2）=-2/5
则f(1/2)=(a/2+b)/(1+1/4)=4/5*（a/2+b)=2/5
得a/2+b=1/2
f(-1/2)=(-a/2+b)/(1+1/4)=4/5(-a/2+b)=-2/5
得-a/2+b=-1/2,
联立解得a=1,b=0
∴f(x)=x/(1+x^2)
设-1＜x1＜x2＜1,
∴x1-x2＜0,1-x1x2＞0,1+x1^2＞0,1+x2^2＞0

则f(x1)-f(x2)=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)
=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]＜0
∴f(x1)＜f(x2)
即(x)在（-1,1）上是增函数

Answer 3

1。f(x)=（ax+b）/（1+x²）为奇函数∴f(0)=0则b=0
f(0.5)=0.4则a=1所以f(x))=x/（1+x²）
设任意的-1<x1<x2<1，则f(x1)-f(x2)=[x1/(1+x1^2)]-[x2/(1+x2^2)]
通分化简可得到分子为（x1-x2)(1-x1x2)<0所以f(x1)<f(x2)
所以函数为增函数
2。（1）x²-2ax+3>0在x∈R内恒成立，所以判别式=4a²-12<0
所以-√3<a<√3
(2)f(u)=lon(0.5)u为减函数，而f(x)为增函数区间为（-∞，1]，则u(x)=x²-2ax+3为减区间并u(1)=4-2a>0,区间（-∞，1]在u(x)的对称轴左边，则a≤1
所以取值范围为a≤1
3。令f(x)=x²+（1/2-2m)x+m²-1两个实根在[0，2]所以f(0)=m²-1≥0，
f(2)=m²-4m+4≥0，有f(x)=[x+(1-4m)/4]²+m/2-17/16,而m/2-17/16<0
解之得m≤-1,或1≤m<17/8

Answer 4

1.（1）.可以将f（1/2）和f（-1/2）带进去，一个等于2/5，一个等于-2/5
（2）.第二小题麻烦一些，设x1、x2，且-1<x1<x2<1,
f(x1)-f(x2)=x1^2+ax1+b-x2^2-ax2-b=(x1^2-x2^2)+a(x1-x2)大于零恒成立，所以f(x1)>f(x2)恒成立，所以f(x)在（-1,1）上是增函数
{应该是这么解的，好久都没解过这种题了，应该是对的，但前提是题目是f(x)=ax+b+x^2,我将b/1看成是b，实在是不好意思。}

2.（符号太麻烦，我直接用文字叙述了）
（1）.由题可知，当x^2-2ax+3>0恒成立时，原等式的定义域为R，所以△<0，既4a^2-4*1*3<0→4a^2-12<0→(a-根号3）*（a+根号3）<0→a小于根号3大于负根号3
（2）.不会

3.题目应该是x^2+（1/2-2m）x+m^2-1吧！如果是那样的话：
设f(x)=x^2+(1/2-2m)x+m^2-1,则有f（0）>0、f(2)>0、△>0{值自己带，自己计算}