a取任意值时,这个函数的不定积分无法用有限初等函数的组合表示,因为它能转化为椭圆积分,而椭圆积分是无法用有限的初等函数表示的!
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如果你要精确的结果,则必须要出现椭圆积分或其它乱七八糟的积分,椭圆积分是一个无法初等表示的函数,而且如果你要在此基础上数值计算的话,椭圆积分是无法给出精确值的,要是这样的话,还不如把这个积分式保留,这样还更简洁直观.
如果只是为了数值计算,则有一个近似的积分方法:
将待积函数用泰勒级数展开,再对展开式积分,这样得到的结果更具规律性和直观性,如下:
当a=1/2时:f(x)=sqrt(2)*(1/2+x^2/8-5x^4/192+…)
积分之后得到sqrt(2)*(x/2+x^3/24-x^5/192+…)
这样数值计算时比较方便,比较不爽的就是不是精确的结果,但是精确度却可以控制.
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因为t=0时,你给的式子没有意义,所以,这里我将其在pi/2的邻域内展开!
令x=t-pi/2,(这样令是为了后面的方便)
f(t)=1-x/2+3x^2/8-11x^3/48+19x^4/128-361x^5/3840+307x^6/5120+o(x^7)
我也是用软件算的~可参见这一个网址:
http://wims.math.ecnu.edu.cn/wims.cgi?session=CX779CB5EB.2&+lang=cn&+module=tool/analysis/function.cn f(x)处输入:1/(1-cos(x))^(1/2)
选中"f 的泰勒展开式",邻域填上"pi/2",阶数选8即可得到上面的结果!