自然对数e

Question

自然对数e=2.71828.....这个是通过什么方法算出来的，有人会吗？
用极限的方法怎么能够得到个无限不循环小数的结果，这样下去还不是没有准确的答案，还不是可以逼近新的数字。谁能大概说说。

Answer 1

自然对数的底e是全部自然数(含0)的阶乘的倒数之和。注意：0!=1。
即：e=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!+...
微积分中有一条定理：单调有界数列必有极限。
从直观上很容易看出定理的正确性，但严格的证明要用到实数理论。
数列｛a[n]｝，a[n]=(1+1/n)^n，当趋于正无穷大时，其极限就是e。
我们可以将a[n]和a[n+1]按二项式定理展开，即可知道a[n]<a[n+1]，说明数列｛a[n]｝是单调递增的。
另外从二项式定理展开式中，可以看到：
a[n]<1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!
<1+1/2^0+1/2^1+1/2^2+...+1/2^(n-1)
<1+(1-1/2^n)/(1-1/2)=3-1/2^(n-1)<3
说明数列｛a[n]｝是有上界的。
因此，数列｛a[n]｝的极限存在，并且该极限小于3，不必担心这个极限会跑到哪儿去。
从二项式定理展开式中，我们还可以看到：当n趋于无穷大时，(1+1/n)^n的极限就是：1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...
由于二项式定理展开式在这里表示比较烦，就只写一个结果，以供参考：
a[n]=(1+1/n)^n
=1+1+(1/2!)(1-1/n)+(1/3!)(1-1/n)(1-2/n)+...+(1/n!)(1-1/n)(1-2/n)...(1-(n-1)/n)

Answer 2

e的数学意义:
e是(1+1/x)的x次方当x趋向于正无穷时的极限.

尤拉的自然对数底公式
（大约等于2.71828的自然对数的底———e）

尤拉被称为数字界的莎士比亚，他是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学中理论与应用的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等）最多著作的学者。数学史上称十八世纪为“尤拉时代”。

尤拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力，使他在13个小孩子吵闹的环境中仍能精确思考复杂问题。

尤拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名。只有那个大约等于2.71828的自然对数的底，被他命名为e。但因他对数学广泛的贡献，因此在许多数学分支中，反而经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

我们现在习以为常的数学符号很多都是尤拉所发明介绍的，例如：函数符号f（x）、π、e、∑、logx、sinx、cosx以及虚数i等。高中教师常用一则自然对数的底数e笑话，帮助学生记忆一个很特别的微分公式：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你。”也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是e的x次方。”

这个微分公式就是：e不论对x微分几次，结果都还是e！难怪数学系学生会用e比喻坚定不移的爱情！

相对于π是希腊文字中圆周第一个字母，e的由来较不为人熟知。有人甚至认为：尤拉取自己名字的第一个字母作为自然对数。

而尤拉选择e的理由较为人所接受的说法有二：一为在a，b，c，d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；一为e是指数的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人尤拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的指数都是它。

Answer 3

每个自然数平方分之一的加和即1+1/4+1/9+1/16+1/25……