勾股定理证明题

Question

等腰三角形ABC,
AB=AC,
P是BC上任意一点.
求证: AB的平方 - AP的平方 = PB × PC

要带解析 谢谢!

Answer 1

作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b
，斜边长为c.
把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.
过C作AC的延长线交DF于点P.
∵
D、E、F在一条直线上,
且RtΔGEF
≌
RtΔEBD,
∴
∠EGF
=
∠BED，
∵
∠EGF
+
∠GEF
=
90°，
∴
∠BED
+
∠GEF
=
90°，
∴
∠BEG
=180°―90°=
90°
又∵
AB
=
BE
=
EG
=
GA
=
c，
∴
ABEG是一个边长为c的正方形.
∴
∠ABC
+
∠CBE
=
90°
∵
RtΔABC
≌
RtΔEBD,
∴
∠ABC
=
∠EBD.
∴
∠EBD
+
∠CBE
=
90°
即
∠CBD=
90°
又∵
∠BDE
=
90°，∠BCP
=
90°，
BC
=
BD
=
a.
∴
BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
,
∴
BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2

Answer 2

因为是等腰三角形，AB=AC,P是BC上任意一点，即可在作图时将P设为是BC中点，则AP垂直于BC，三角形ABP,ACP都是直角三角形，根据勾股定理，可得AB²-AP²=BP²,而BP=PC,所以AB²-AP²=PB×PC

Answer 3

过点A作BC的垂线，垂足为D
根据等腰三角形的性质可得
BD=CD
在直角三角形ABD中，根据勾股定理有
AB^2=BD^2+AD^2
在直角三角形APD中，根据勾股定理有
AP^2=AD^2+PD^2
AB^2-AP^2=BD^2-PD^2=(BD+PD)(BD-PD)
=(CD+PD)(BD-PD)=CP*BP
∴AB^2-AP^2=PB*PC

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/83023174.html?si=3

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Answer 4

过点A作BC的垂线，垂足为D
根据等腰三角形的性质可得
BD=CD
在直角三角形ABD中，根据勾股定理有
AB²=BD²+AD²
在直角三角形APD中，根据勾股定理有
AP²=AD²+PD²
AB²-AP²=BD²-PD²=(BD+PD)(BD-PD)
=(CD+PD)(BD-PD)=CP*BP
∴AB²-AP²=PB×PC

Answer 5

S1=AC^2/2
S2=BC^2/2
S3=AB^2/2
又因为AC^2+BC^2=AB^2
所以AC^2/2+BC^2/2=AB^2/2
即
S1+S2=S3