如图,AD是三角形ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高 求证AD垂直平分EF

Question

如图,AD是三角形ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高 求证AD垂直平分EF

Answer 1

（设AD与EF相交于点G）
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
又∠AED=∠AFD=90°，AD=AD
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴ED=FD，∠ADE=∠ADF
又DG=DG
∴△EDG≌△FDG(SAS)
∴∠EGD=∠FGD=90°，EG=FG
∴AD垂直平分EF

Answer 2

∵AD是角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠DEA=∠DFA=90° ∠ADE=∠ADF
∵AD=AD
∴△ADE≌△ADF(AAS)
∴ED=DF
∵∠ADE=∠ADF OD=DO（暂时称点O）
∴△ODE≌△ODF（SAS）
∴OE=OF ∠DOE=∠DOF
∴AD是EF的中垂线

Answer 3

因为AD平分角BAC，所以DE=DF，又因为DE、DF为高，所以3角形AED全等于3角形AFD，所以角EDA=角FDA，所以3角形EDP全等于3角形DFP，所以EP=FP，角EPD=角FPD=90，
所以AD垂直平分EF

Answer 4

（设AD与EF相交于点G）
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
又∠AED=∠AFD=90°，AD=AD
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴ED=FD，∠ADE=∠ADF
又DG=DG
∴△EDG≌△FDG(SAS)
∴∠EGD=∠FGD=90°，EG=FG
∴AD垂直平分EF

参考资料：下面

Answer 5

∵AD平分∠BAF,DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠EAD=∠FAD,DE=DF,∴点D在EF的垂直平分线上。∴⊿DEA≌⊿DFA,∴AE=AF,∴点A在EF的垂直平分线上。∴AD垂直平分EF。
三角形全等是HL定理
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