已知:如图,四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H,顺次连接EF、FG、GH、HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).(1)四边形EFGH的形状是______,并证明你的结论.(2)当四边形ABCD的对角线满足条件______时,四边形EFGH是矩形;(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形?(4)当四边形ABCD的对角线满足条件______时,四边形EFGH是菱形.
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(1)四边形EFGH的形状是平行四边形.理由如下:
如图,
连结BD.
∵E、H分别是AB、AD中点,
∴EH ∥ BD,EH= 1 2 BD,
同理FG ∥ BD,FG= 1 2 BD,
∴EH ∥ FG,EH=FG,
∴四边形EFGH是平行四边形;
(2)当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时,四边形EFGH是矩形.理由如下:
如图,连结AC、BD.
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点,
∴EH ∥ BD,HG ∥ AC,
∵AC⊥BD,
∴EH⊥HG,
又∵四边形EFGH是平行四边形,
∴平行四边形EFGH是矩形;
(3)菱形的中点四边形是矩形.理由如下:
如图,连结AC、BD.
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点,
∴EH ∥ BD,HG ∥ AC,FG ∥ BD,EH= 1 2 BD,FG= 1 2 BD,
∴EH ∥ FG,EH=FG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵EH ∥ BD,HG ∥ AC,
∴EH⊥HG,
∴平行四边形EFGH是矩形.
故答案为平行四边形;互相垂直;菱形.