高数，未定式，求极限的一道题，附图

Question

我的疑问是，若应用洛必达法则，当x趋近于0时，e的指数的极限为1.而得e-e=0.但是作为分母的x也是趋近于0啊。结果应该是0/0，凭什么得出函数最终值为0。难道是只有e的指数中的x趋近于0吗？难道不应该是整个函数中的x都趋近于0吗？

Answer 1

解：这种解法错误了，你的疑问是对的。属”0/0”型，用洛必达法则，可以得出f(x)在x→0时的左右极限相等、且a=-e/2时，f(x)在x=处连续，但计算量较大。
分享一种计算量小的解法，用等价无穷小量替换求解。(1+x)^(1/x)=e^[(1/x)ln(1+x)~e^[(x-x^2/2)/x]=e^(1-x/2)~(1-x/2)e，
故，lim(x→0)f(x)=-e/2。供参考。