函数f(x)在(a,+∞）上可导，且x趋近正无穷时，f(x)趋近于0，则必有x趋近正无穷时，f'(x)趋近于0，证明是错

Question

只需要举一个反例，反例应该是f'(x)不存在吧，否则就成立了

Answer 1

如需要构造一个f'(x)不在的函数

令a=0,f(x)定义如下

f(x)=sin(2nπx) / n x∈(n-1,n]

其中n=1,2,3....

当这个函数是趋于0的，这是因为，
在第个区间(n-1,n]的最大最小值分别为
-1/n,1/n.
而这个函数是可导的
f'(x)= 2πcos(2nπx) x∈(n-1,n]

(在x=n处，可以用左右导数来验证可导)

f'(x)在无穷处极限不会为0

因为f'(n) = 2π 是一个常数列

所以存在一个子列不为趋于0.

所以f'(x)极限不为0.