如图①，将两个等腰直角三角形叠放在一起，使上面三角板的一个锐角顶点与下面三角板的直角顶点重合，并将

Question

如图①，将两个等腰直角三角形叠放在一起，使上面三角板的一个锐角顶点与下面三角板的直角顶点重合，并将上面的三角板绕着这个顶点逆时针旋转，在旋转过程中，当下面三角板的斜边被分成三条线段时，我们来研究这三条线段之间的关系．（1）实验与操作：如图②，如果上面三角板的一条直角边旋转到CM的位置时，它的斜边恰好旋转到CN的位置，请在网格中分别画出以AM、MN和NB为边长的正方形，观察这三个正方形的面积之间的关系；（2）猜想与探究：如图③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB边上的点，∠MCN=45°，作DA⊥AB于点A，截取DA=NB，并连接DC、DM．我们来证明线段CD与线段CN相等．∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于点A，∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，又∵DA=NB，BC=AC，∴△CAD≌△CBN．∴CD=CN．请你继续解答：①线段MD与线段MN相等吗？为什么？②线段AM、MN、NB有怎样的数量关系，为什么？（3）拓广与运用：如图④，已知线段AB上任意一点M（AM＜MB），是否总能在线段MB上找到一点N，使得分别以AM与BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积？若能，请在图④中画出点N的位置，并简要说明作法；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）如图所示：以AM为边的正方形的面积加上以BN为边的正方形的面积等于移NM为边的正方形的面积． ．

（2）①线段MD与线段MN相等．
理由是：在△CDM和△CNM中

CD＝CN ∠DCM＝∠MCN CM＝CM

，
∴△CDM≌△CNM，
∴MD=MN．

②AM²+NB²=MN²，
理由是：∵在Rt△DAM中，AM²+DA²=DM²，
又∵DA=NB，MD=MN，
∴AM²+NB²=MN²．

（3）能在线段MB上找到点N，作法如下：

作AC=BC，且∠ACB=90°，连接CM，作∠MCN=45°，交AB于点N．