初三 数学 数学中考压轴题 请详细解答,谢谢! (20 22:8:20)
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动，BP=AQ.点D，E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H.当点E到达顶点A时，P,Q同时停止运动.设BP的长为x，△HDE的面积为y.
（1）求证：△DHQ~△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值
（3）当y为何值时，△HDE为等腰三角形？
(1)∵∠HQA=C=∠90° ∠B=∠B
∴△AHQ∽△ABC
∵D与A关于Q对称
∴△DHQ≌△AHQ
∴△DHQ∽△ABC
（2）AQ=BP=x
△AHQ∽△ABC
∴HQ/BC=AQ/AC
∴HQ=3x/4
BE=AD=2AQ=2x
DE=丨AD+BE-AB丨=丨4x-10丨
∴y=HQ*DE/2=丨6x²-15x丨/4
x的范围[0,5]
得当x=5时，y的最大值为y=75/4（求2次函数的最值方法）
（3）△HDE为等腰三角形有3种情况
①HD=HE
此时D与B，E与A重合
y=75/4
②DE=HE
即DE=AH,
AH可由相似比得出AH=5x/4
∴丨4x-10丨=5x/4
得x=40/11或40/21
此时y=750/121或250/147
③DE=HD经验证不可能
∴当y=75/4或750/121或250/147时，△HDE为等腰三角形
解：
第（1）小题很简单，两个直角三角形，有一个公共角就相似，于是△AHQ∽△ABC，又由对称性，△AHQ≌△DHQ，于是△DHQ∽△ABC。
（2）由已知，PE=PB=x, DQ=AQ=BP=x，所以BE=2x，AD=2x。
由勾股定理可以求得AB=10，
由已知BE≤AB，所以2x≤AB，x≤5。
于是DE=|BA-AD-BP|=|10-4x|
{ 10-4*x，0≤x≤5/2,
= {
{ 4*x-10，5/2<x≤5
tan A=BC/AC=3/4，tan B=AC/BC=4/3，cos A=AC/AB=4/5。
由于AQ=BP=1/2*BE≤1/2*BA，而AC>BC，故点H总是落在AC上。
QH=AQ*tan A=x*3/4=3x/4。
于是
y=S△HDE=1/2*QH*DE=1/2*|10-4x|*3x/4
=3x/4*|5-2x|
{ 3/2*(5x/2-x^2)，0≤x≤5/2,
= {
{ 3/2*(x^2-5x/2)，5/2<x≤5
当0≤x≤5/2时，y=3/2*(5x/2-x^2)=3/2*[-(x-5/4)^2+25/16]，当x=5/4时，y取得极大值75/32；
当5/2≤x≤5时，y=3/2*(x^2-5x/2)=3/2*[(x-5/4)^2-25/16]，当x=5时，y取得极大值75/4；
综上，当x=5时，即E与A重合时，y取最大值75/4。
（3）△HDE为等腰三角形可能有三种情况，HD=DE、HE=HD、ED=EH，
由对称性，HD=HA=QA/cos A=x/(4/5)=5x/4，HD^2=25/16*x^2。
DE=|BA-AD-BP|=|10-4x|，DE^2=(10-4x)^2，
EQ=|AB-PE-AQ|=|10-3x|，由勾股定理HE^2=(HQ^2+QE^2)=(3x/4)^2+(10-3x)^2。
若HD=DE，则HD^2=DE^2，即25x^2/16=(10-4x)^2，
解之，x=40/21或40/11，都在区间[0, 5]上，
对应的面积y=250/147或750/121。
若HE=HD，则HE^2=HD^2，即(3*x/4)^2+(10-3*x)^2=25*x^2/16，
解之，x=5或 5/2，都在区间[0, 5]上，但是x=5/2时，点D、E重合，△HDE退化为一条线段，舍去。
故取x=5，对应的面积y=75/4。
若ED=EH，则ED^2=EH^2，即(10-4*x)^2=(3*x/4)^2+(10-3*x)^2
解之，x=0或 320/103，都在区间[0, 5]上，但是x=0时，点H、Q重合，△HDE退化为一条线段，舍去。
故取x=320/103，对应的面积y=30000/10609。
综上，当△HDE为等腰三角形时，y的取值为250/147、750/121、75/4、30000/10609。但是，不能说y的取值为这四个值时，△HDE为等腰三角形。主要是因为当y=250/147时，x有三种可能取值，25/42, 40/21, 5/4+(5/84)*sqrt(761)，其中两种情况下，△HDE都不是等腰三角形。故第三问提法有误。（可以参见附图）
