经典几何极值

Question

高中数学竞赛 经典几何极值包括哪些定理？

Answer 1

1. 几何定值问题

(1)定量问题：解决定量问题的关键在探求定值，一旦定值被找出，就转化为熟悉的几何证明题了。探求定值的方法一般有运动法、特殊值法及计算法。

(2)定形问题：定形问题是指定直线、定角、定向等问题。在直角坐标平面上，定点可对应于有序数对，定向直线可以看作斜率一定的直线，实质上这些问题是轨迹问题。

2. 几何极值问题：最常见的几何极值问题大体包括：[hide]有关线段的最大最小问题；三角形面积的最大最小问题；角的最大最小问题等。[/hide]

【例题分析】

例1. 已知的两边的中点分别为M、N，P为MN上的任一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E，求证：为定值。

分析：用运动法探求定值，先考虑特殊情况，令P在MN上向M运动，此时D点向A运动，P点运动到M时，D点将与A点重合，而AM＝MB，于是，于是转入一般证明。

证明：连结AP

例2. 两圆相交于P、Q两点，过点P任作两直线与交一圆于A、B，交另一圆于、，AB与交于点C，求证：为定值。

分析：设两圆为⊙O、⊙，现从运动极端分析，因为直线与都是以P为固定点运动的。当与重合时，便成了左图的情况，而AC和分别成了两圆的切线。且，QA、分别为直径。

容易求得

这就是所求的定值。

证明：如右图，连结PQ、BQ、则有

例3. 在定角XOY的角平分线上，任取一点P，以P为圆心，任作一圆与OX相交，靠近O点的交点为A，与OY相交，远离O点的交点为B，则为定角。

分析：先探求定值，根据特殊化求定值，一般证明的原则，先看图(2)，如果以角平分线上任意一点P为圆心，以OP为半径作圆，此时，A点与O点重合，

证明：如图(1)，作

例4. 已知E、F分别是四边形ABCD的AB、CD边上的中点

求证：

分析：本题即证EF的最大值为，因此可先考虑特殊情况，以找出等号成立的条件，再证一般情况。

证明：(1)当四边形中AD//BC时，如左图

EF是梯形ABCD的中位线

(2)当AD不平行BC时，如右图

连结AC，取AC的中点G，再连结EG、FG

在中，

在中，

又中，

综合(1) (2)，得

【考点解析】

例1. 如图，AD是⊙O的直径，B是AD延长线上一点，BE切⊙O于点E，交BE延长线于点C，若，弦EG交AD于点F。求证：。

证明：连结AE、ED

点评：本题用到了垂径定理的推论，圆周角、弦切角、直径所对的圆周角、直角三角形两锐角互余，角平分线的性质等知识。

例2. 如图，在中，，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆与AC切于点D，与AB交于点E，若AD＝2，AE＝1，求的值和四边形BCDE的面积。

分析：求的值，需要用转化的思想，因为不是直角三角形，所以要转化到直角三角形中解决问题。因为，所以可以把问题转化到中解决问题。求四边形可以用割补的方法，把四边形分割成和等腰两个三角形分别求解。

解：连结BD，过D点作于点F

点评：本题主要运用了转化的思想，把求转化到了中来解决。考查了相似三角形、弦切角、圆周角、勾股定理等知识。

一. 几何定值问题

1. 求证：正三角形内一点到三边距离之和为定值。

2. 在正方形ABCD的外接圆的AD上任取一点P，则(PC＋PA)：PB为定值。

3. 在正方形ABCD内，以A点为顶点作且，设这个角的两边分别交正方形的边BC、CD于E、F，自E、F分别作正方形对角线AC的垂线，垂足为P、Q。求证：过B、P、Q所作圆的圆心在BC上。

4. 已知CD是半径为R的⊙O的直径，AB是动弦，AB与CD相交于E，且成角，求证：为定值。

二. 几何极值问题

5. 在中，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的点，试证明的面积不超过的面积之和。

6. 如图，中，D、E分别是BC、AB上的点，且，如果的周长依次是m、，证明：。

7. 已知P为平行四边形ABCD的AB边上的一个动点，DP的延长线与CB的延长线相交于Q，问P点在什么位置时，使得的值最小？

8. 设AB是⊙O的动切线，与通过圆心O而互相垂直的两直线相交于A 、B，⊙O的半径为r，求OA＋OB的最小值。

【疑难解答】

A.教师自己设计问题：

1 . 本周的模拟试题为什么没有选择题和填空题？

2 . 解答题的8个题各属于几何定值和极值的哪种类型？它们的解题思路是什么？

B. 对问题的解答：

1. 本周的几何定值和极值问题综合性较强，而且一般都在解答题中出现，选择题和填空题出现极少，因此本周的模拟试题都是解答题。

2. 答：解答题的第1题、第2题和第4题是几何定值中的定量问题；第3题是几何定值中的定形问题；第5到第8题是几何极值问题。下面就这8个题的解题思路分别作以下的说明。

第1题：已知P为正内任意一点，它到BC、CA、AB的距离分别为PE、PF、PD，求证：PD＋PE＋PF为定值。

分析：点P可以在三角形内任意运动，当P点运动到正三角形的一个顶点时，显然就是正三角形的高，因此，PD＋PE＋PF必取定值，这个定值，就是的高h。

证明：连结PA、PB、PC显然有：

第2题：分析：用运动法令P与D重合，则(PC＋PA)： PB变为(DA＋ DC)：DB，显然其定值为。

由于图中直角比较多，所以可做垂线构造相似形证明。

证明：由A引

第3题：本题属于定形问题，要证B、P、Q三点所确定的圆的圆心在BC上，若命题正确，则B点就是半径的端点，且，AB就是圆的切线， APQ是割线，那么必有，证明即可。

证明：如图，

得

AB是过B、P、Q三点所作圆的切线，BC过切点B垂直于AB，它必通过圆心，也就是过B、P、Q所作圆的圆心在BC边上。

第4题：这是定值问题，既然AB是⊙O的动弦，而且与⊙O的定直径CD保持夹角为，则可把这些动弦视为一组平行移动的弦，显然，做一条过圆心且平行于AB的弦，则E点与O点重合，这时，于是探求到定值为，这里的是特殊位置，一般情况就比较好证了。

第5题：

分析：因为DA＝DB，所以就可以拼合成一个四边形，然后再去与比较面积的大小。

证明：(1)如图(1)，以D为对称中心，把旋转，易知四边形是凸四边形，连结，而且

(2)当E运动到与A重合时，如图(2)

(3)当F运动到与B重合时，如图(3)

综合(1)、(2)、(3) 总能成立。

第6题：分析：初看本题不好下手，但仔细想来有两条路可走，一是把分别用同一个三角形的边长的代数式表示，将转化为二次函数求极值；另一是将的和，分别求其代数式再求极值。

证明：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则m＝a＋b＋c

第7题：分析：P是AB边上的一个动点，Q点随P的运动而动，题中涉及两个未知量的和。BQ随AP的变化而变化，所以可用AP的代数式来表示。这样，我们设所求两线段之和为线段AP的函数，即可用代数法求解。

解：设AP＝x，AB＝m，AD＝n，AP＋BQ＝y，易证

把(1)式变形为

即y的最小值是，用代入(2)式

解得，当AP的长为平行四边形ABCD的比例中项式，AP＋BQ的值最小。

第8题：分析：设OA＝x，OB＝y观察图形可看出中，斜边AB上的高OP＝r为定值，则AB越小，其面积越小，当OA＝OB时，面积最小，此时，也最小，的最小值为。

Answer 2

见：http://www.math15.com/mo/55.html