请问老师，为什么“矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩”？

Question

如何理解矩阵的秩和向量组的秩的关系，烦请老师详细点拨下。

Answer 1

首先，因为矩阵的秩就是定义为行向量组的秩（也可以定义成列向量组的秩）。

其次，矩阵的秩定义为它的行向量的秩。因为有结论：转置矩阵与原矩阵有相同的秩。所以行向量组的秩与列向量的秩相等。

例如，一个三行四列的满秩矩阵，它的秩为3，如果你将其化为一个4行3列的矩阵，它的秩也为3。

扩展资料：

一：矩阵乘法

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义  。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。

由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。

二：矩阵乘法注意事项

1、当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A与B可以相乘。

2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。

3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

三：基本性质

1.乘法结合律： (AB)C=A(BC)

2.乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC

3.乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB  

4.对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）

5.转置 (AB)T=BTAT

6.矩阵乘法一般不满足交换律 。

7.注：可交换的矩阵是方阵。

参考资料：百度百科-矩阵乘法

百度作业帮-矩阵的秩和向量组的秩有什么内在联系吗?

Answer 2

都是大姨妈的回答，看你大表叔我的~

首先为了帮助你明白，你先要弄清楚2个定义：
矩阵的秩的定义：存在K阶子式不为0，对任意K+1阶子式均为0，则k即为矩阵的秩。
向量组的秩的定义：向量组的极大线性无关组所包含向量的个数，称为向量组的秩。
其次再弄清楚3个定理：
1，矩阵A的行列式不为0的充要条件是A的行(列)向量线性无关
2，无关组加分量仍无关
3， r个n维列向量组线性无关的充要条件是这r个n维列向量组所构成的矩阵至少存在一个r阶子式不为0
好了，简略证明过程开始,我先证“矩阵的秩等于列向量组的秩”。假设n阶矩阵的秩为r，其列向量组的秩为s。（我们的目标：就是证明r=s）
一方面，矩阵的秩为r，即为其有K阶子式不为0(矩阵秩的定义)，则该K阶子式的列向量线性无关(定理1)，则其k阶子式所在矩阵的列向量必线性无关(定理2)，则由向量组的秩的定义可知r≤s。
另一方面，列向量组的秩为s，由定理3知，必有一个s阶子式不为0，故由矩阵的秩的定义可知s≤r。
联立即得，r=s！
同理可证，矩阵的秩等于行向量组的秩！
完全原创，码字辛苦，楼主不明白可追问，明白请采纳！本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

因为矩阵的初等变换不改变矩阵的秩！！！
所有的矩阵初等变换的结果，都是如下形状：
对角线上一些1，0。其他元素全0。
这个时候你能看出来行秩和列秩都是1的个数。

Answer 4

矩阵的秩定义为它的行向量的秩。因为有结论：转置矩阵与原矩阵有相同的秩。所以行向量组的秩与列向量的秩相等。
你看看书中 “转置矩阵与原矩阵有相同的秩”的证明就可以了。追问

你好，我知道矩阵的行向量组秩等于列向量组秩，但是我问的是为什么矩阵的秩等于向量组的秩？

追答

矩阵的秩就是定义为行向量组的秩（也可以定义成列向量组的秩）

追问

算了，我是想知道如何证明这个的。不就结了，费时费力~

追答

你学代数连书上的基本内容都不看？