|入E-A| => (入-3)(入-2)(入-1)涉及到行列式的展开与化简知识。根据行列式的展开公式有:
|入E-A| = (入+1)(入-4)(入-3) + 3*(-1)*2 + 3*(-4)*0 - 2*(入-4)*3 - 0*(-1)*(入+1) - (入-3)*3*(-4)=0 => (入+1)(入-4)(入-3) - 6 - 6(入-4) + 12(入-3)=0 => (入+1)(入-4)(入-3) + 6(入-3)=0 => (入-3)[(入+1)(入-4) +6] => (入-3)(入-2)(入-1)
(行列式的展开公式请参考相关书籍《大学数学基础教程(三)线性代数与空间解析几何》第三章第一节)
其实所谓的特征向量就是特征值"入"与对应矩阵A组成的新矩阵Ax=入x的解(注意每个特征值对应的特征向量不一定只是一个,一般情况下都是一组解)
(Ax=入x是定义,参见《大学数学基础教程(三)线性代数与空间解析几何》第六章第一节)
既然上式求出了入的三个解,也就是该矩阵对应的三个特征值,那么带入|入E-A|x=0(其实就是Ax=入x的另一个形式)求出x就OK了。
如入1=1,代入后利用矩阵初等行变换,可得出
|1 0 -1|
|0 1 -1|
|0 0 0|
即x1-x3=0,x2-x3=0 => x1=x2=x3,取x1=1,得x2=x3=1(取几都可以,取1只是我觉得1方便),从而得到入1对应的一个特征向量X=(1,1,1)T(T代表转置)
所以特征值入1对应的全部特征向量为:
kX = (k,k,k)T,其中k为任意非零的数
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