高中数学数列题。

Question

数列{an}的前n项和为sn，已知a1＝1，S（n+1）＝4an +2，求an的通项公式。

Answer 1

解：a1=1
令n=1，则S2=4a1+2
a1+a2 =4a1+2
a2 =3a1 +2 = 5.
由 S(n+1)=4an+2 ……①
得 Sn =4a（n=1）+2 ……②
以上两式相减得：a(n+1) = 4an -4a(n-1)
a(n+1) - 2an = 2an -4a(n-1)
a(n+1) - 2an = 2【an -2a(n-1)】
【 a(n+1) - 2an】/ 【an -2a(n-1)】= 2
令bn = a(n+1) - 2an 则 上式即 bn/b(n-1) =2
说明 {bn} 是一个首项b1=a2-2a1 = 5 - 2×1 =3，公比为2的等比数列。
∴ bn=3×2^（n-1)
即 a（n+1) - 2an = 3×2^（n-1) ……③
③式两边各项同除以2^（n+1） 得：
a（n+1) / 2^（n+1）- an/2^n = 3/4
再令 cn = an/2^n ，则上式即 c(n+1) - cn = 3/4
说明 {Cn} 是一个首项c1=a1/2^¹ = 1/2 ，公差为 3/4 的等差数列。
∴ Cn = c1 + (n-1)d
= 1/2 + 3(n-1)/4
= 3n/4 -1/4
∴an/2^n = 3n/4 -1/4
∴ an =( 3n/4 -1/4)×2^n
至此，在两次设辅助数列{bn} 、{cn}后，终于算出了{an}的通项公式。

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/414375980.html

Answer 2

S（n+1）＝4an +2
put n=1
a1+a2=4a1+2
a2=5
S（n+1）＝4an +2 (1)
Sn＝4a(n-1) +2 (2)
(2)-(1)
a(n+1) - 4an+4a(n-1)=0
The aux equtaion
x^2-4x+4=0
x=2
let
an = (A+Bn) 2^n
a1 = 2(A+B)=1 (3)
a2= 4(A+2B)=5 (4)
(4)-2(1)
4B=3
B= 3/4
A=-1/4
an = (-1/4+3n/4) 2^n
=(3n-1).2^(n-2)

Answer 3

S（n+1）＝4an +2
Sn=4a(n-1)+2
相减得
an=4an-4a(n-1)
an=4/3a(n-1)=(4/3)^(n-1)

Answer 4

我太弱了。做不出来