应
塞瓦定理
音译问题塞瓦定理
塞瓦定理
△ABC内任取
点O
直线AO、BO、CO
别交
边于D、E、F
则
(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
证
简介
（Ⅰ）本题
利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC
直线BOE所截
∴
(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1
①
由△ABD
直线COF所截
∴
(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②
②÷①:即
：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
（Ⅱ）
利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC
③
同理
CE/EA=S△BOC/
S△AOB
④
AF/FB=S△AOC/S△BOC
⑤
③×④×⑤
BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于
点:
设三边AB、BC、AC
垂足
别
D、E、F
根据塞瓦定理逆定理
(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1
所
三条高CD、AE、BF交于
点
用塞瓦定理证明
其
定理;
三角形三条
线交于
点（重
）:
图5
D
,
E
别
BC
,
AC
点
所
BD=DC
AE=EC
所
BD/DC=1
CE/EA=1
且
AF=BF
所
AF/FB必等于1
所
AF=FB
所
三角形三条
线交于
点
外
用定比
点
定义塞瓦定理：
△ABC
三边BC、CA、AB或其延
线
别取L、M、N三点
比
λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB
于
AL、BM、CN三线交于
点
充要条件
λμν=1
（注意与梅涅劳斯定理相区
λμν=-1）
塞瓦定理推论：
设E
△ABD内任意
点
AE、BE、DE
别交
边于C、G、F
则
(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1
（塞瓦定理）
则
(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K
未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K
未知参数）
由梅涅劳斯定理
：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1
所
(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1（塞瓦定理推论）
http://baike.baidu.com/view/148207.htm?fr=ala0