第九讲：揭秘根轨迹法的奥秘
在控制系统的稳定性探索中，反馈系统的闭环极点起着决定性作用。然而，对于高阶系统，直接通过特征方程求解极点变得复杂。这时，伊凡思的根轨迹法登场，它巧妙地绕过繁琐的方程求解，通过图形解析开环增益变化如何影响闭环极点的分布。根轨迹图，就像极点与增益之间的一幅动态画卷，清晰展示了它们之间的关联。
绘制根轨迹的方法多样，从手工草图到计算机辅助，每一步都遵循特定规则：根轨迹的起点和终点分别源自开环的极点和零点；它们的分支数和对称性，反映了系统结构的特性，最多有n或m个分支，且总沿实轴对称；实轴上的轨迹依赖于零点和极点的分布，这些点就像画布上的调色点；渐近线、会合点和分离角则揭示了系统动态性能的转折点；而起始角和终止角则涉及复数零极点的神奇效应，它们与虚轴的交点则是由劳斯判据精确确定的。
通过MATLAB，我们可以轻松绘制根轨迹图，它不仅能揭示系统的稳定性，如所有根轨迹落在左半平面保证稳定性，穿越虚轴则意味着条件稳定性，而且还能区分开环与闭环极点的位置关系。在多环系统中，我们通常先分析内环再扩展到外环，理解它们之间的相互影响。
值得注意的是，开环稳定与闭环稳定之间存在差异。开环零点和极点对根轨迹和时间响应有直接影响。设计时，我们需要警惕零极点相消可能导致的问题，而闭环零极点则决定了系统的稳态和暂态响应特性。
在时间响应的分析中，主导极点显得尤为重要。它位于离虚轴最近的闭环极点位置，直接影响系统响应的时间尺度。设计时，我们通常先确定主导极点，然后根据其位置调整非主导极点，确保它们与虚轴的距离是主导极点的2-5倍，以保持系统的稳定裕度。
主导极点通常呈现共轭复数形式，位于60度扇形区域，类似二阶欠阻尼系统的表现，阻尼系数约0.707。通过遵循根轨迹分析的基本规则1-5，我们可以画出大致的概略图，而MATLAB的精确绘制工具则能提供更详尽的视角。
根轨迹法，如同控制系统的隐形导航图，让我们在设计中更加精准地把握动态性能。深入理解和运用这一工具，无疑将提升我们对复杂系统控制的理解与掌握。