如图，已知长方形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动

Question

如图，已知长方形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等？请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设△PEQ的面积为Scm 2 ，请用t的代数式表示S； （3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△AEP与△BPQ全等？

Answer 1

解：（1）∵长方形ABCD， ∴∠A=∠B=90°， ∵点E为AD的中点，AD=6cm， ∴AE=3cm， 又∵P和Q的速度相等可得出AP=BQ=1cm，BP=3， ∴AE=BP， 在△AEP和△BQP中， ， ∴△AEP≌△BPQ， ∴∠AEP=∠BPQ， 又∵∠AEP+∠APE=90°， 故可得出∠BPQ+∠APE=90°， 即∠EPQ=90°， 即EP⊥PQ． （2）连接QE， 由题意得：AP=BQ=t，BP=4﹣t，CQ=6﹣t， S PEQ =S ABCD ﹣S BPQ ﹣S EDCQ ﹣S APE =AD·AB﹣ AE·AP﹣ BP·BQ﹣ （DE+CQ）·CD =24﹣ ×3t﹣ t（4﹣t）﹣ ×4（3+6﹣t）= ﹣ t+6． （3）设点Q的运动速度为xcm/s，经过y秒后，△AEP≌△BQP， 则AP=BP，AE=BQ， ∴ ，解得： ， 即点Q的运动速度为 cm/s时能使两三角形全等．