在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，AE、BF相交于P，求证：CP=CB

Question

在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，AE、BF相交于P，求证：CP=CB
不用四点共圆，用八下同学能理解的方法解，拜托了各位！！急啊！！

Answer 1

如图，G是AB中点，连接CG，交FB于Q

先证三角形ADE和BAF全等（直角、正方形边长、边长一半）

再证AE垂直BF（角1+角2=90度，角1=角1'，角1'+角2=90度）

再证AP||GQ（中点，AG=EC，平行四边形，AE||CG）

再证GQ是三角形ABQ的中位线（平行底边，中点，AG=GB）

所以CQ垂直平分三角形CBP底边，三角形CBP是等腰三角形，CP=CB

Answer 2

由BA=AD，角A=角D=90度，AF=DE=1/2AD，得三角形BAF≌三角形ADE，所以角ABF+角AFB=90度=角DAE+角AFB=角APB，所以AE⊥BF。过C作CT垂直BF于T，延长CT交AB于V。有AE//CV，所以角CVB=角EAB=角AEB，且角B=角D，CB=AD，三角形CBV≌三角形ADE（AAS）所以VB=DE=1/2DC=1/2AB，由于TV//AP，所以TB=1/2PB，TB=TP，又CT⊥PB，由等腰三角形三线合一的性质，知CP=CB

Answer 3

以正方形一个顶点作为原点，建立直角坐标系，同时设正方形边长为单位1，则可以根据两点间距离公式计算出CP和CB的长度。对于正方形这种很规则的图形，如果涉及到边的运算，用坐标系没有搞不定的。以此类推，正方体的问题用三维立体坐标是通解。

Answer 4

证明：
取ab的中点g，连接dg，交ae于h
∵四边形abcd是正方形
∴ab=bc=cd，∠abe=∠bcf=90º
∵e,f分别是bc,cd的中点
∴be=cf
∴⊿abe≌⊿bcf（sas）
∴∠bae=∠cbf
∵∠bae+∠bea=90º
∴∠apb=∠cbf+∠bep=90º
∵bg=df，bg//df
∴四边形bfdg是平行四边形
∴bf//gd
∴∠ahg=∠apb=90º
∵ag=bg
∴ah=ph【平行线等分线段定理】
∴dg垂直平分ap
∴ad=pd【垂直平分线上的点到线段两端的距离相等】

Answer 5

证明：
取ab的中点g，连接dg，交ae于h
∵四边形abcd是正方形
∴ab=bc=cd，∠abe=∠bcf=90º
∵e,f分别是bc,cd的中点
∴be=cf
∴⊿abe≌⊿bcf（sas）
∴∠bae=∠cbf
∵∠bae+∠bea=90º
∴∠apb=∠cbf+∠bep=90º
∵bg=df，bg//df
∴四边形bfdg是平行四边形
∴bf//gd
∴∠ahg=∠apb=90º
∵ag=bg
∴ah=ph【平行线等分线段定理】
∴dg垂直平分ap
∴ad=pd【垂直平分线上的点到线段两端的距离相等】