数学论文反比例函数基础知识的应用
2009-09-16 17:26:25 来源：网络
一、反比例函数的基础知识
1．一般地，形如y=(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,k是比例系数.
2.函数的解析式的特征:①等号左边是函数y,等号右边是一个分式,分子是常数k,分母中含有自变量x,且x的指数是1.②自变量x的取值范围是x≠0的一切实数.③比例系数“k≠0”是反比例函数定义的一个重要组成部分.④函数y的取值范围也是一切非0的实数.
3.反比例函数的几种等价形式：y=;y=kx-1;xy=k.(k≠0)
4.用待定系数法，求反比例函数的解析式：反比例函数 （且k为常数）中，只有一个待定系数，因此只需一对对应值就可求出k的值，从而确定其解析式.
5.反比例函数y=( k为常数,k≠0)图象是双曲线.(既是轴对称图形,又是中心对称图形)
6.反比例函数图象的性质：当k>0时,双曲线位于第一,三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,因而y随x的增大而减小;当k<0时,双曲线位于第二,四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,因而y随x的增大而增大.双曲线与x轴,y轴都没有交点,而是越来越接近x轴,y轴.
7.比例系数k的几何意义:反比例函数中比例系数k的几何意义,如果过双曲线上任意一点引x轴,y轴垂线,与两坐标轴围成的矩形面积为|k|.
二、反比例函数基础知识的应用
例1． 已知 是反比例函数
（1） 求它的解析式.
（2） 求自变量 的取值范围，在每个象限内， 随 的增大而怎样变化？
（3） 它的图象位于哪个象限？
分析： （k≠0）叫反比例函数，也可以写成 ，因此，它的特点是（1）k≠0，（2）x的指数为-1.
解：（1）由题意得 ， ，解析式为
（2）自变量 的取值范围是 .
（3）由于 ，它的图象位于二、四象限；在每个象限内， 随 的增大而增大.
O
A
O
O
B
O
O
C
O
O
D
O
例2、在同一坐标系中，函数 和 的图像大致是 （ ）
分析：本题是考查含有字母系数的几个函数在同一坐标系中的图象，分 和 两种情况进行讨论，选A.
例3、如右图，在 的图象上有两点A、C，
过这两点分别向x轴引垂线，交x轴于B、D两点，
连结OA、OC，记△ABO、△CDO的面积为 ，
则 与 的大小关系是( )
A. B. C. D.不确定
分析：由基础知识7知 ，故选C.
例4．已知反比例函数 的图像上有两点A( ， )，B( ， )， 且 ，则 的值是（ ）
A、正数 B、负数 C、非正数 D、不能确定
分析：由 可分为 ，易得 ，故选D.特别要注意反比例函数的增减性是对每一支曲线而言.
例5．如图是三个反比例函数 ， ， 在x轴上方的图象，由此观察得到 、 、 的大小关系为（ ）
A、 B、
C、 D、
分析：根据图象所在的象限，知 ，取 得 ，即 ，故选B.
例6．在矩形ABCD中AB=3，BC=4，P是BC边上与B点不重合的任意点，PA=x，D点到PA的距离为y，求y与x之间的函数关系式，并画出函数的图像以及自变量x的取值范围.
D
B
A
E
C
P
解：如图，由题意（1）∠DEA=∠ABP，∠1=∠2，∴⊿DEA∽⊿ABP，∴
即
(2) ∵P在BC上,与B不重合,可以与C重合
, .
(3)由于函数自变量的取值范围是3<x≤5，所以y对应的取值范围是 ，因此图像只是一段曲线 , 其中不包括（3，4）而包括（5， ）.(图略)
例7.已知一个函数具有以下条件：（1）该图象经过第四象限；（2）当 时， y随x的增大而增大；（3）该函数图象不经过原点.请写出一个符合上述条件的函数关系式： .
分析:这是一道开放题,必须非常熟悉函数的图象和性质,才能解决问题.符合上述条件的函数关系式为 .
例8、某自来水公司计划新建一个容积为40000 的长方形蓄水池.
（1）蓄水池的底面积S（ ）与其深度h（m）有怎样的函数关系？
（2）如果蓄水池的深度设计为5m，那么蓄水池的底面积应为多少平方米？
（3）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，蓄水池的长和宽最多能分别设计为100m和60m，那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求？（保留两位小数）
分析：这是一道反比例函数在生活实际中应用的问题，通过长方体体积公式v＝sh的变式来解决问题(1)，得到 与 进行类比，得到是反比例函数关系；问题（2）和问题（3）则都是知道关系式中一个变量求另外一个变量，只需代入关系式计算出所求值即可，引导学生明白解决问题一定依靠函数关系式进行.
以上我们通过例题分析了反比例函数基础知识在不同类型题目中的应用，我们在以后的学习中一定要打好基础、学会举一反三。
与反比例函数中考题面对面 反比例函数是初中阶段函数的一种重要类型对反比例函数的考查是各地中考命题热点之一本文以2010年部分省市中考试题中的反比例函数试题为例加以归类分析供读者参考。 一、反比例函数的图象和性质 【例1】台州市反比例函数xy6图象上有三个点11yx22yx33yx其中3210xxx则1y2y3y的大小关系是 A321yyy B312yyy C213yyy D123yyy 【解析】该题有三种解法解法①画出xy6的图象然后在图象上按3210xxx要求描出三个已知点便可得到321yyy的大小关系解法②特殊值法将三个已知点自变量x选特殊值代入解析式计算后可得到3210yyy的大小关系解法③根据反比例函数的性质可知y1y2都小于0而y30且在每个象限内y值随x值的增大而减小而x1x2∴y2y10。故312yyy故选B。 【思路感悟】解决此类问题一方面应当熟悉反比例函数的性质同时必须能够熟练的画出双曲线利用数形结合的思想解决问题。 【迁移训练】哈尔滨市反比例函数yx3-k的图象当x0时y随x的增大而增大则k的取值范围是 Ak3 Bk≤3 Ck3 Dk≥3 二、用待定系数法确定反比例函数的解析式 【例2】兰州市如图1P1是反比例函数0kxky在第一象限图象上的一点A1 的坐标为20 1当点P1的横坐标逐渐增大时△P1O A1的面积将如何变化 2若△P1O A1与△P2 A1 A2均为等边三角形求此反比例函数的 解析式及A2点的坐标 【解析】1当点P1的横坐标逐渐增大时△P1OA1的高逐渐降低 但它的底不变∴△P1OA1的面积将逐渐减小 2求反比例函数的解析式需先求出P1点的坐标作P1C⊥OA1 易得P131再用待定系数法确定反比例函数的解析式为xy3 由于A2点的横、纵坐标都不知道可作P2D⊥A1 A2设A1Da则OD2aP2D3a 所以P2aa32 代入xy3中得a-1±2∵a0 ∴21a 所以点A2的坐标为220 【思路感悟】利用待定系数法求反比例函数解析式只需要确定图象上一个点的坐标将其 图1 DBAyxOC横、纵坐标代入xky中即可相应的求出k的值从而确定反比例函数的解析式。 【迁移训练】郴州市已知如图2双曲线ykx的图象经 过A12、 B2b两点. 1求双曲线的解析式2试比较b与2的大小. 三、反比例函数中的面积问题 【例3】眉山市如图3已知双曲线0kykx经过直角 三角形OAB斜边OA的中点D且与直角边AB相交于点C若点A的坐标为64则△AOC的面积为 A12 B9 C6 D4 【解析】由A-64可得△ABO的面积为124621同 时由于D为OA的中点所以D-32可得反比例 函数解析式为xy6设Cab则ab6 ∴ab-6则BO×BC6∴ △CBO的面积为3所以△AOC的面积为12-39 【思路感悟】过双曲线xky上任意一点分别作x轴、y轴的垂线所得矩形的面积均为k相应对角线所分成的两个三角形的面积均为2k。 【迁移训练】泉州南安市如图4 已知点A在双曲线y6x上且 OA4过A作AC⊥x轴于COA的垂直平分线交OC于B 1则△AOC的面积 2△ABC的周长为 四、反比例函数的综合应用与探究 【例4】成都市如图5已知反比例函数kyx与一次函数yxb 的图象在第一象限相交于点14Ak 1试确定这两个函数的表达式 2求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围 解1将点14Ak代入反比例函数kyx得 2k∴A12再将A12代入一次函数 yxb得1b易得两解析式yx1和xy2。 2将yx1和xy2组成方程组可求点B的坐 标为21。观察图象可得2x或01x。 【思路感悟】比较两个函数的大小也就是看函数图象图3 图5 图4 图2 B2bA12yxOykx 的高低找好关键点即交点。 【例5】济宁市如图6正比例函数12yx的图象与反比例函数kyx0k在第一象限的图象交于A点过A点作x轴的垂线垂足为M已知OAM的面积为1. 1求反比例函数的解析式 2如果B为反比例函数在第一象限图象上的点点B与点A不重合且B点的横坐标为1在x轴上求一点P使PAPB最小. 【解析】1由于OAM的面积为1易得2k.∴解析式为2yx. 2 先将12yx、2yx组成方程组求出A21. 再 求出B12。使PAPB最小则需要作A点关于x轴的对 称点C则C点的坐标为21.利用待定系数法可求BC 的解析式为35yx。点P在x轴上当0y时 53x.∴P点为530. 【思路感悟】在解决函数与几何综合题目时不仅需要清楚函数知识而且还需要掌握好几何知识画出图形利用数形结合的思想解题。 【迁移训练】河北省如图7在直角坐标系中矩形OABC的顶点O与坐标原点重合顶点AC分别在坐标轴上顶点B的坐标为42过点D03和E60的直线分别与ABBC交于点MN 1求直线DE的解析式和点M的坐标 2若反比例函数xmyx0的图象经过点M求该反比例函数的解析式并通过计算判断点N是否在该函数的图象上 3若反比例函数xmyx0的图象与△MNB有公共点请直接写出m的取值范围 【迁移训练答案】 1.A 2. 1双曲线的解析式为2yx2b
与反比例函数有关的几种类型题目的解题技巧摘要: 摘要:反比例函数这一章是八年级数学的一个重点,也是初中数学的一个核心知识点.由反 比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题,这对"数形结合"思想还有点欠缺的中学生 来说无疑是一个难点,面对这样的问题,本人经过一些题目的观察和总结,对以下的几类题 目有自己的见解,若有不当之处还请各位高人批评指教. 关键词: 关键词:反比例函数,函数图象,函数性质 的取值范围, 的范围; 一,给出自变量 x 的取值范围,让我们判断函数值 y 的范围; 如果每位学生都能把函数的图像正确的画出来, 我们解决这种问题就相对比较直观, 也 比较简单, 但是对于中学生来说好多学生不能对函数的图像有一个很好的掌握, 因此这种题 目很容易出错. 也是学生最容易失分的地方, 下面我就对这类问题分以下几种情况来逐一介 绍: k ( k>0),当 x>a 或 x<b(a,b 是非零常数)时,求 y 的取值范 x k k 围.这种问题只需要把这里的 a 或 b 代入函数的解析式中,得到 y 的值 或 ,对应的 y a b k k k 的取值范围就是 y< 或 y> ,由于反比例函数 y= 当 k>0 时,y 随 x 的增大而减小. a b x 2 例如:函数 y= ,当 x>-1 时,y 的取值范围就是 y<-2;当 x<2 时 y 的取值范围就是 y> x 1,反比例函数 y= 1. k ( k<0),当 x>a 或 x<b(a,b 是非零常数)时,求 y 的取值范 x k k 围.我们同样把这里的 a 或 b 代入函数的解析式中,得到 y 的值 或 ,对应的 y 的取值 a b k k k 范围就是 y> 或 y< ,由于反比例函数 y= 当 k<0 时,y 随 x 的减小而增大.例如: a b x 2 函数 y= ,当 x>-1 时,y 的取值范围就是 y>2;当 x<2 时 y 的取值范围就是 y<-1. x k 3,反比例函数 y= (k ≠ 0) ,当 a<x<b,a,b 同号时,求 y 的取值范围.我们还是 x k k k k 把这里的 a,b 代入函数的解析式中,得到 y 的值 , ,然后对 , 按小到大排序, a b a b k k k k 排好序后他们之间用"<y<"连接即可.若 > ,则 y 的取值范围就是 <y< .例 a b b a 2 2 如: 函数 y= , 当-3<x<-1 时求 y 的取值范围, 把-3 和-2 代入解析式得到的 y 的值为 x 3 2 和-2,则 y 的取值范围就是-2<y< . 3 k 4,反比例函数 y= (k ≠ 0) ,当 a<x<b,a*b<0 时,求 y 的取值范围.同样先是把 x k k k k 这里的 a,b 代入函数的解析式中,得到 y 的值 , ,然后对这里的 , 进行大小比 a b a b 2,反比例函数 y= 较, 的取值范围是 y "大于大的, 小于小的" 若 . 例如:函数 y= k k k k < 则 y 的取值范围就是 y< , y> . a b a b 2 ,当-2<x<2 时求 y 的取值范围,把-2 和 2 代入解析式得到的 y 的值为-1 x 和 1,则 y 的取值范围就是 y<-1,y>1. 已知反比例函数图像上的若干个点,知道横坐标的大小关系, 二,已知反比例函数图像上的若干个点,知道横坐标的大小关系,让我们来判断纵坐标的 大小关系; 大小关系; 对于这种问题, 如果能正确的画出反比例函数的图像, 并会熟练的分析反比例函数的图 像,那么这类问题也很容易解决,但面对一些实际情况,我们只能寻找一些学生更容易例接 受的方式,下面我就对这些问题稍作分析: 1,反比例函数 y= k ( k>0),点 A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)……An(Xn,Yn)都在反比例函数的图 x 像上,已知 X1<X2<X3……<Xn(X1,X2,X3……Xn 同号) ,求 Y1,Y2,Y3……Yn 的大小关系. 这个问题我们直接利用反比例函数的性质(当 k>0 时,y 随着 x 的增大而减小) ,很容易得 到 Y1>Y2>Y3>……>Yn.例如:已知函数 y= 像上,求 Y1,Y2,Y3 的大小关系.由于 2,反比例函数 y= 2 1 ,点 A(1,Y1),B( ,Y2),C(2, Y3)在函数的图 x 2 1 <1<2,按照上面方法很容易得到 Y2>Y1>Y3. 2 k ( k<0),点 A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)……An(Xn,Yn)都在反比例函数的图 x 像上,已知 X1<X2<X3……<Xn(X1,X2,X3……Xn 同号) ,求 Y1,Y2,Y3……Yn 的大小关系. 这个问题我们直接利用反比例函数的性质(当 k<0 时,y 随着 x 的增大而增大) ,很容易得 到 Y1<Y2<Y3<……<Yn.例如:已知函数 y= 图像上,求 Y1,Y2,Y3 的大小关系.由于 3,反比例函数 y= 2 1 ,点 A(1,Y1),B( ,Y2),C(2, Y3)在函数的 x 2 1 <1<2,按照上面方法很容易得到 Y2<Y1<Y3. 2 k ( k>0),点 A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)……An(Xn,Yn)都在反比例函数的图 x 像上,已知 X1<X2<…<Xk<0<Xk+1<…<Xn,求 Y1,Y2,Y3……Yn 的大小关系.这个问题就不 能像上面一样直接比较,A1,A2……An 这些点的横坐标中间被"0"隔开,做这类问题要分两 块来进行解决. 我们首先要分清楚每个点所在的函数图像在哪个象限, 在每个象限内我们还 是按照 1 和 2 的比较方式进行就可以了.反比例函数 y= k ,当 k>0 时,它的图像在一, x 三象限,并且在函数图象的每一支上,y 随着 x 的增大而减小.但不论怎样,第一象限内图 像的每一个点对应的 y 值都比第三象限内图像的每一点对应的 y 值要大.因此我们恒有 Ak+1……An 这些点所对应的 y 值要比 A1……Ak 点对应的 y 值要大.Y1,Y2……Yk 的大小顺寻很 容易判断是:Y1>Y2>……>Yk;Yk+1, Yk+2 ……Yn 的大小顺序是:Yk+1> Yk+2 >……>Yn.综 上我们得到 Y1,Y2,Y3……Yn 的大小关系是:Yk+1> Yk+2 >……>Yn>Y1>Y2>……>Yk;如果 不考虑这么多,用一句简单化来概括的话就是:反比例函数 y= 反比例函数 k ,k>0 时,图像上任意 x 2 ,点 x 的点, 值要大, 的点,横坐标为正的点对应的 y 值比横坐标为负的点对应的 y 值要大,若横坐标的符号相 同 时 我 们 就 按 照 反 比 例 函 数 的 性 质 进 行 比 较 即 可 . 例 如 : 已 知 函 数 y= A(-1,Y1),B(- 1 ,Y2),C(2, Y3),D(2.5,Y4)在函数的图像上,求 Y1,Y2,Y3,Y4 的大小关系. 2 解析:k=2 是大于零的,A,B,C,D 四点的横坐标有正有负,横坐标为正的点对应的 y 值比横 坐标为负的点对应的 y 值要大,因此肯定有 Y3,Y4 要大于 Y1,Y2,当 k>0 时在反比例函数 图像的每一支上,y 随着 x 的增大而减小,因此有 Y4 <Y3, Y2<Y1 ,进而 Y1,Y2,Y3,Y4 的大 小关系是:Y2<Y1<Y4 <Y3. 4,反比例函数 y= k ( k<0),点 A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)……An(Xn,Yn)都在反比例函数的图 x 像上, 已知 X1<X2<…<Xk<0<Xk+1<…<Xn,求 Y1, 2, 3……Yn 的大小关系. Y Y 同样 A1, 2…… A An 这些点的横坐标中间被"0"隔开,首先还是要分清楚每个点所在的函数图像在哪个象限, 在每个象限内我们还是按照 1 和 a2 的比较方式进行就可以了.反比例函数 y= k ,当 k>0 x 时,它的图像在二,四象限,并且在函数图象的每一支上,y 随着 x 的增大而增大.但不论 怎样, 第二象限内图像的每一个点对应的 y 值都比第四象限内图像的每一点对应的 y 值要大. 因此我们恒有 A1……Ak 这些点所对应的 y 值要比 Ak+1……An 点对应的 y 值要大.Y1,Y2……Yk 的大小顺寻很容易判断是:Y1<Y2<……<Yk;Yk+1, Yk+2 ……Yn 的大小顺序是:Yk+1 < Yk+2 <……<Yn.综上我们得到 Y1,Y2,Y3……Yn 的大小关系是:Yk+1< Yk+2 <……<Yn<Y1<Y2 <……<Yk;如果不考虑这么多,用一句简单化来概括的话就是:反比例函数 y= 反比例函数 k ,k<0 x 2 , x 值要大, 时,图像上任意的点,横坐标为负的点对应的 y 值比横坐标为正的点对应的 y 值要大,若 图像上任意的点, 横坐标的符号相同时我们就按照反比例函数的性质进行比较即可 横坐标的符号相同时我们就按照反比例函数的性质进行比较即可.例如:已知函数 y= 行比较即可 点 A(-1,Y1),B(- 1 ,Y2),C(2, Y3),D(2.5,Y4)在函数的图像上,求 Y1,Y2,Y3,Y4 的大小关系. 2 解析:k=-2 是小于零的,A,B,C,D 四点的横坐标有正有负,横坐标为负的点对应的 y 值比横 坐标为正的点对应的 y 值要大,因此肯定有 Y1,Y2 要大于 Y3,Y4,当 k<0 时在反比例函数 图像的每一支上,y 随着 x 的增大而增大,因此有 Y1 <Y2, Y3<Y4 ,进而 Y1,Y2,Y3,Y4 的大 小关系是:Y3<Y4<Y1 <Y2.
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