已知三阶矩阵A的特征值为1，-1，2，设矩阵B=A3-5A2，则行列式|B|=______

Question

已知三阶矩阵A的特征值为1，-1，2，设矩阵B=A3-5A2，则行列式|B|=______．

Answer 1

|B|=-288。

求矩阵的行列式通常通过因式分解并利用|AB|=|A||B|转换为简单矩阵的行列式的乘积。

|B|=|A²(A-5I)|=|A|²|A-5I|=4|A-5I|，

其中最后一步利用了矩阵的行列式等于其特征值的乘积这个性质。剩下的问题就是求|A-5I|。由于A的特征值互异，因此可以对角化，设A=P^(-1)DP，其中D=diag(1,-1,2)，则：

|A-5I|=|P^(-1)DP-5P^(-1)P|=|P^(-1)(D-5I)P|=|P^(-1)||diag(-4,-6,-3)||P|=-72。

因此|B|=-288。

扩展资料：

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

1、第一步：计算的特征多项式；

2、第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

3、第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是其中不全为零的任意实数。

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

Answer 2

利用矩阵特征值的性质以及已知条件可得，B的所有特征值为：
1³-5×1²=-4，
（-1）³-5×（-1）²=-6，
2³-5×2²=-12．
从而，
|B|=（-4）×（-6）×（-12）=-288．本回答被提问者采纳

Answer 3

求矩阵的行列式通常通过因式分解并利用|AB|=|A||B|转换为简单矩阵的行列式的乘积。
比如此题
|B|=|A²(A-5I)|=|A|²|A-5I|=4|A-5I|，
其中最后一步利用了矩阵的行列式等于其特征值的乘积这个性质。剩下的问题就是求|A-5I|。由于A的特征值互异，因此可以对角化，设A=P^(-1)DP，其中D=diag(1,-1,2)，则
|A-5I|=|P^(-1)DP-5P^(-1)P|=|P^(-1)(D-5I)P|=|P^(-1)||diag(-4,-6,-3)||P|=-72，
因此|B|=-288。