虽然都有偶然的意思，区别：
by accident：偶然；意外地；无意中；偶尔；
是
介词短语，在句子里做状语的。如：
We met together by accident.
我们偶然相会。
I fell into this by accident, but have loved every minute of it because the work is soversatile. I never get bored writing for all my various clients.
我是偶然的机会接触到这一行的，但打那起就爱上了这份工作，因为它涉及领域及广，为形形色色的客户写文章从未让我感到厌烦。
happen to：发生于；偶然发生；（+sb）发生在某人身上；碰巧。是动词短语，在句子里做谓语的。如：
As these trends continue, what will happen to the desktop and where will it live?
由于这些趋势在继续发展，桌面会发生什么变化，它的生存空间在哪里？
There are some things that you can only understand when they happen to you.
事实上有些事情直到真的发生在你身上你才能了解你自己的感受。
happen to+have done(表示碰巧已经做了什么)
Ideally, bank employees should be able to access functions on the basis of work
demands, regardless of what application they happen to have open.
理想化地，银行雇员应该能够在工作需要的基础上访问功能，无论他们碰巧使用的是何种
应用程序。