高数求分段函数的积分

Question

这个题怎么求，求详细过程

Answer 1

这个分段积分所得的结果，也是一个分段函数。
先画函数草图，再分段讨论。
详情如图所示:追答

所以

供参考，请笑纳。

追问

为什么多一个这个式子，直接后面那个式子不可以吗

追答

不同的区间上，有不同的函数解析式，所以顺势而为。

Answer 2

f(x)

=sinx ; 0≤x<π
=2 ; π≤x≤2π
F(x) =∫(0->x) f(t) dt
分段考虑
case 1: x<π
F(x)
=∫(0->x) f(t) dt
=∫(0->x) sint dt
=-[cost]|(0->x)
=1- cosx
case 2: π≤x≤2π
F(x)
=∫(0->x) f(t) dt
=∫(0->π) f(t) dt + ∫(π->x) f(t) dt
=∫(0->π) sint dt + ∫(π->x) 2 dt
=-[cost]|(0->π) +2[t]|(π->x)
=2 +2x- 2π
ie
F(x)
=1- cosx ; 0≤x<π
=2 +2x- 2π ; π≤x≤2π