微分与导数的关系

Question

如题所述

Answer 1

微分与导数的关系：从几何意义上说，导数是曲线某点切线的斜率，而微分则是某点切线因变量y的微小增量。从可导或可微方面说，可导即可微，可微即可导。

导数也叫导函数值，又名微商，是微积分学中重要的基础概念，是函数的局部性质。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。

设函数y=f（x）在x的邻域内有定义，x及x+Δx在此区间内。如果函数的增量Δy=f（x+Δx）-f（x）可表示为Δy=AΔx+o（Δx）。

其中A是不随Δx改变的常量，但A可以随x改变，而o（Δx）是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数f（x）在点x是可微的。

且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy=AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。

通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx。于是函数y=f（x）的微分又可记作dy=f’（x）dx。函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

导数的计算：

计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。

只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。