常见的数列解题法有多少种？例：错位相减，累加，累乘.

Question

如题所述

Answer 1

举例1
设数列：1
2
3
4
……n
求其前n项的和
解答：
1
2
3
4
……n
n
n-1
n-2
n-3……1
设前n项和为S，以上两式相加
2S=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+……+(1+n)
(供n个n+1)
=n(n+1)
故S=n(n+1)/2
又比如：
举例2
求数列：2
4
6……2n的前n项和
解答：
2
4
6
……
2n
2n
2(n-1)
2(n-2)……
2
设前n项和为S,以上两式相加
2S=[2+(2n)]+[4+2(n-1)]+[6+2(n-2)]+……+[(2n)+2]
共n个2n+2
故：S=n(2n+2)/2=n(n+1)
对于等比数列，一般用“错位相减”法
举例3如下：
求数列：2
4
8
……2^n的前n项和
解答：
设
S=2+4+8+……+2^n，将其两边同乘以2
2S=2*2+4*2+8*2+……+2^(n+1)
=0+4+8+……+2^(n+1)
注意到前式只有首项和末项与后式不同，后式减前式
得2S-S=(0-2)+(4-4)+(8-8)+……+（2^n-2^n）+2^(n+1)
S=2^(n+1)-2
上述“错位相减”方法对于如下情形同样适用：
数列Cn=An*Bn,其中：An为等差数列，Bn为等比数列.
（此类数列求和问题是高考的常考题型）
举例4如下：
求数列Cn=n*2^n的前n项和
解答：设此数列的前n项和为S
S=1*2+2*4+3*8+……+n*2^n
,两边同乘以2
2S=
0+1*4+2*8+……+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)
后式减前式：
S=-(2+4+8+……+2^n)+n*2^(n+1)
其中由上题例3的结论：2+4+8+……+2^n=2^(n+1)-2
S=-2^(n+1)+2+n*2^(n+1)=2+(n-1)*2^(n+1)