用定义证明数列极限（或函数极限），需要真正理解极限定义的精髓才有意义。数列{an}以a为极限的定义“对于任意给定的ε＞0，总存在正整数N，使当n＞N时恒有|an-a|＜ε”的精髓是：无论事先给定的ε＞0多么小，满足“n＞N时，|an-a|＜ε”的N总是存在的。而所谓“存在”，就是说这样的N总能找到。这就是为什么数列极限证明题到最后总要“取N＝…”的道理。
需要指出的是，用定义证明数列极限使用的是分析法而非演绎法，即总是从“要使|an-a|＜ε成立”出发，看只需什么成立；假如只需A成立，再看要使A成立只需什么成立；如此下去，直到要使P成立只需n＞g(ε)成立(g(ε)＞0)；于是得出结论：只要取N＝[g(ε)]（有时会需要取N＝[g(ε)]+1），就一定有“n＞N时|an-a|＜ε”成立。
所以，在用定义证明数列极限的主要步骤里，出现“因为…，所以…”的叙述都是不正确的。
2.按照1的说法，此题严格的证明过程应该是：
“对于任意给定的ε＞0，
要使|n/(n+1)-1|＜ε，因为|n/(n+1)-1|＝1/(n+1)，
所以只需1/(n+1)＜ε，即n＞1/ε -1.
取N＝[1/ε -1] +1，则当n＞N时，有|n/(n+1)-1|＜ε.
所以lim…。”
这里之所以取N＝[1/ε -1]+1，是因为[1/ε -1]有可能等于零（比如ε＝2时就是），为了保证所取到的确实是正整数，才做的技术处理。
需要指出的是，用定义证明数列极限使用的是分析法而非演绎法，即总是从“要使|an-a|＜ε成立”出发，看只需什么成立；假如只需A成立，再看要使A成立只需什么成立；如此下去，直到要使P成立只需n＞g(ε)成立(g(ε)＞0)；于是得出结论：只要取N＝[g(ε)]（有时会需要取N＝[g(ε)]+1），就一定有“n＞N时|an-a|＜ε”成立。
所以，在用定义证明数列极限的主要步骤里，出现“因为…，所以…”的叙述都是不正确的。
2.按照1的说法，此题严格的证明过程应该是：
“对于任意给定的ε＞0，
要使|n/(n+1)-1|＜ε，因为|n/(n+1)-1|＝1/(n+1)，
所以只需1/(n+1)＜ε，即n＞1/ε -1.
取N＝[1/ε -1] +1，则当n＞N时，有|n/(n+1)-1|＜ε.
所以lim…。”
这里之所以取N＝[1/ε -1]+1，是因为[1/ε -1]有可能等于零（比如ε＝2时就是），为了保证所取到的确实是正整数，才做的技术处理。
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第1个回答 2019-09-11
极限的定义就是n足够大时，求极限部分与极限的差的绝对值可以小于任意一个小的数。反之亦然，为了使得求极限部分与极限的差的绝对值小于某个任意指定小的数(这里简单认为一旦小于这个数时两者相等)，从第N个数开始，如果后面的数都会有求极限部分与极限的差的绝对值小于任意指定小的数，那么从第N个数开始后面的值都等于极限。