教育局可以开除老师。
根据《中华人民共和国教师法》第三十七条的规定，教师有下列情形之一的，由所在学校、其他教育机构或者教育行政部门给予行政处分或者解聘：
一、故意不完成教育教学任务给教育教学工作造成损失的；
二、 体罚学生，经教育不改的；
三、品行不良、侮辱学生，影响恶劣的。
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教师应当履行的义务
一、遵守宪法、法律和职业道德，为人师表；
二、贯彻国家的教育方针，遵守规章制度，执行学校的教学计划，履行教师聘约，完成教育教学工作任务；
三、对学生进行宪法所确定的基本原则的教育和爱国主义、民族团结的教育，法制教育以及思想品德、文化、科学技术教育，组织、带领学生开展有益的社会活动；
四、关心、爱护全体学生，尊重学生人格，促进学生在品德、智力、体质等方面全面发展；
五、制止有害于学生的行为或者其他侵犯学生合法权益的行为，批评和抵制有害于学生健康成长的现象；
六、不断提高思想政治觉悟和教育教学业务水平。
参考资料来源：百度百科-中华人民共和国教师法
教育局无权开除老师。
教育局作出开除本人公职的决定涉嫌程序违法。本人与所在的学校存在隶属于被隶属的关系，学校与教育部门存在管理与被管理的关系，但本人却不直接隶属于教育部门，即本人与教育部门不存在直接隶属和管理关系。
因而，除非政府直接授权教育部门对本人予以开除，否则无权开除本人。因为如若是政府授权，那么教育局开除本人公职就属于受政府委托代为执行政府的决定。
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“开除教师”需要程序合法
《中小学教师违反职业道德行为处理办法》规定，给予教师处分，应当坚持公正、公平和教育与惩处相结合的原则；应当与其违反职业道德行为的性质、情节、危害程度相适应；应当事实清楚、证据确凿、定性准确、处理恰当、程序合法、手续完备。
作出处理决定前，应当听取教师的陈述和申辩，听取学生、其他教师、家长委员会或者家长代表意见。这样的规定要求教育主管部门对于教师的处罚绝不能居高临下，一纸公文，一开了之，而是需要严格的程序，充分的调查，民主的评议，公正的判定，如此才能程序合法，以理服人，让教师心服口服。
参考资料来源：人民网——“开除教师”需要程序合法
本回答被网友采纳根据《中华人民共和国教师法》第八间第三十七条:教育局有权辞退或者处分教师。
《中华人民共和国教师法》第八间第三十七条规定，教师有下列情形之一的，由所在学校、其他教育机构或者教育行政部门给予行政处分或者解聘：
（一）故意不完成教育教学任务，给教育教学工作造成损失的；
（二）体罚学生，经教育不改的；
（三）品行不良、侮辱学生，影响恶劣的。
教师有前款第（二）项、第（三）项所列情形之一，情节严重，构成犯罪的，依法追究刑事责任。
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教育局开除教师相关案例：
“梁老师，我是××楠，我在这里为我做的事向您道歉，我知道我伤害了您，请您一定要原谅我。”12日一早，这封出现在报纸上的道歉信让不少读者颇觉纳闷：这名叫××楠（以下简称小楠）的人做了什么不可以原谅的事，竟要登报道歉？这封道歉信的背后藏着什么故事？
记者多方采访，得到了一个让人吃惊的答案：因为小楠与同学说话间随口说邻班梁老师一句“彪子”（大连方言，有傻子之意），被梁老师要求道歉。事情曝光后，大连市甘井子区教育局迅速展开调查，目前当事梁老师被解聘，并被扣除全年校内津贴。
记者看到，“道歉信”刊发在报纸分类信息中，不过1/4名片大小，寥寥数语。知情人表示，小楠的父母也是委曲求全，希望息事宁人，才被迫按照老师的意思，在报纸上刊登了一份道歉信。据其介绍，小楠的父母是吉林来连打工人员。
3年前，一家人来到大连后，小楠就在革镇堡附近棋盘小学上学。孩子此前在老家耽误了几年学习，如今虽已15岁，但还在读小学6年级。至于登报道歉的原因，该知情人表示，近一个月前，学校要收费，一个班级收了30元钱，另一个班级收了30.5元。
晚上放学时，小楠和另一个班级的同学聊天，无意间说起两个班收费不一样。小楠随口就说了一句：“你们老师是彪子。”没想到，孩子这句话正好被该班的梁老师听到了。知情人表示，事后小楠曾向其家人表示，自己曾向梁老师道歉，却没有获得老师的原谅。
小楠父母是在两周后才知道发生此事的。小楠的班主任老师通知了小楠的母亲。当时班主任老师表示，梁老师给了小楠两周时间，除了让孩子“真心”向他道歉外，还需要请家长。小楠可能怕父母生气，也没想到事情会闹得这么大，所以一直没跟父母说。
小楠母亲知道此事后，立刻赶到学校与梁老师沟通。梁老师表示，已经给了小楠两周时间主动道歉，小楠没这么做，证明对老师非常不尊重。现在家长来了也不行，必须登报道歉解决此事。“父母觉得小楠毕竟是孩子，一句玩笑话不至于大动干戈。
还曾跟梁老师恳求，能不能由家长带着小楠在全校师生面前做检讨，但没获得老师同意。”无奈之下，家长在12日花了260元在报纸上登了一封道歉信。小楠父母看孩子还有半年就毕业了，怕孩子在学校受到歧视和委屈，所以只能息事宁人，选择在报纸上道歉。”
知情人称，小楠在学校学习成绩一般，有时也很调皮，家长很担心此事闹大了，对小楠不利，所以并不愿意对外讲此事。
记者与梁老师取得联系。对于小楠登报道歉一事，梁老师表示，确实是因为小楠骂了他，他才让小楠父母通过登报向他道歉的。他称小楠骂他时，很多学生都听见了，为了维护自己的尊严，小楠必须道歉。如果让小楠在全校公开道歉，又怕小楠的班主任脸面上挂不住，那么只能登报了。
大连市甘井子区教育局13日见到媒体报道后迅速组成调查组进行调查，调查结果与媒体报道符合。
甘井子区教育局做出了处理意见：对棋盘小学、该校校长及此学生的班主任进行全区通报批评，并由相关责任方向当事学生及家长道歉；扣除梁老师全年校内津贴；依据《大连市事业单位聘用合同规定》解除梁老师聘用合同，并履行相关手续。
大连市甘井子区教育局同时表示，将以此事为鉴，在全区范围内开展师德大讨论，加强对教师师德教育和警示教育，也欢迎社会各界对学校进行监督。
参考资料：人民网-学生登报向老师道歉续：教育局紧急解聘该教师
参考资料：中国政府网-中华人民共和国教师法