将极限表示为定积分

Question

如题所述

Answer 1

原式
=lim[n→∞]∑[i=1→n](i/n)^p*1/n

设f(x)=x^p
在区间[0,1]做等长分割T,得到n个小区间:
[0,1/n],[1/n,2/n]…[(i-1)/n,i/n]…[(n-1)/n,1]
在每个区间中取ξi=i/n

得到黎曼和
∑[i=1→n]f(ξi)Δxi
=∑[i=1→n](i/n)^p*1/n

所以
原式
=lim[n→∞]∑[i=1→n](i/n)^p*1/n
=lim[n→∞]∑[i=1→n]f(ξi)Δxi
=∫[0→1]x^pdx

扩展资料：

不定积分（Indefinite integral）即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。

所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。

定积分 （definite integral）定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

参考资料来源：百度百科-定积分

Answer 2

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Answer 3

1/（2n+1）=(1/n)/(2+1/n) 都照此变形，提出1/n
当趋近于无穷大时，1/n趋近于0， 且1/n变化到n/n ,所以定积分区间为[0,1]
变化后的定积分为 积分号[0,1]（1/（2+x）)dx