点E是三角形ABC中，边AB的中点，点F是AC的三等分点（与点A的最近的点），BF和CE交于点G。若向量AG=x*向量A

Question

点E是三角形ABC中，边AB的中点，点F是AC的三等分点（与点A的最近的点），BF和CE交于点G。若向量AG=x*向量AE+y*向量AF。则x+y=?答案是 7/5. 给一下详细 答案呗 谢谢高手了.

Answer 1

向量EG与EC共线，
所以向量EG=mEC.(m是确定的实数)
根据向量的加减法法则：向量AG=AE+EG= AE+ mEC
=1/2AB+m(AC-AE)
=1/2AB+m(AC-1/2AB)
=(1/2-1/2m) AB+mAC,

向量FG与FB共线，
所以向量FG=nFB.(n是确定的实数)
向量AG= AF+FG= AF+ nFB
=1/3AC+n(AB-AF)
=1/3AC+n(AB-1/3AC)
= nAB+(1/3-1/3n)AC,

综上可知
向量AG=(1/2-1/2m) AB+mAC= nAB+(1/3-1/3n)AC,
所以1/2-1/2m= n，m=1/3-1/3n，
解得m=1/5,n=2/5,
∴向量AG=2/5 AB+ 1/5AC,
由已知：AE=1/2AB,AF=1/3AC,
∴向量AG=4/5 AE+ 3/5AF,
所以x+y=7/5.